Question

如圖在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，且B點的坐標是（2，5），拋物線y=ax²隨頂點P沿折線O-C-B-A運動．拋物線的頂點P與點C重合時，拋物線恰好經(jīng)過點A．
（1）求a的值；
（2）當拋物線的頂點落在BC邊上時，拋物線與OC、AB的交點分別是點M、N，連結(jié)MN；
①若拋物線的頂點P恰好在BC的中點時，求tan∠PMN的值；
②若∠MPN=90°時，求此時P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形OABC可以得到A的坐標是（2，0），設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+5，把A的坐標代入即可求得a的值；
（2）①拋物線的頂點P恰好在BC的中點，所以點P坐標為（1，5），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，則與OC，AB的交點即可求得，然后利用三角函數(shù)的定義即可求解；
②把x=0，x=2別代入y=-

5

4

（x-t）²+5即可求得拋物線與OC，AB的交點坐標，易證明△PCM∽△NBP，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可列方程求得t的值，則P的坐標可以得到．

解答：解（1）當拋物線的頂點P與C重合時，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+5，
將A（2，0）代入y=ax²+5，得a=-

5

4

；

（2）設(shè)P（t，5），此時拋物線的關(guān)系式可設(shè)為y=-

5

4

（x-t）²+5，
①拋物線的頂點P恰好在BC的中點，所以點P坐標為（1，5），
∴y=-

5

4

（x-1）²+5，
∴拋物線與OC交于M（0，

15

4

），與AB交于N（2，

15

4

）
∴CM=

5

4

，PC=1     
由拋物線的對稱性，得 MN∥BC∴∠PMN=∠CPM
∴tan∠PMN=tan∠CPM=

CM

PC

=

5

4

 
②∵拋物線與OC，AB的交點為M、N
∴把x=0，x=2別代入y=-

5

4

（x-t）²+5，得
M（0，5-

5

4

t²），N （2，5-

5

4

（2-t）²）
∴CM=

5

4

t²，BN=

5

4

（2-t）² 
由∠PMN=90°，證明△PCM∽△NBP  
∴

CM

PC

=

BP

NB

∴

5 4 t2

t

=

2-t

5 4 (2-t)2

∴t₁=

8

5

，t₂=

2

5

    
∴P₁（

2

5

，5）或P₂（

8

5

，5）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角函數(shù)以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確求得函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．