Question

如圖，在⊙O中，弦AB與半徑相等，連接OB并延長，使BC=OB．
（1）試判斷直線AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）請你在⊙O上找到一個點D，使AD=AC（完成作圖，證明你的結論），并求∠ABD的度數(shù)．

Answer 1

（1）AC與⊙O相切．（1分）
證明：如圖，∵AB與半徑相等，即AB=OA=OB，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°．
∵BC=OB=AB，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴∠OAC=90°，（2分）
∴AC與⊙O相切．

（2）延長BO交⊙O于D，連接AD，則必有AD=AC．（3分）
證明：∵∠BOA=60°，OA=OD，
∴∠D=30°．
又∵∠C=30°，
∴∠C=∠D，
∴AD=AC．（4分）
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠ABD=60°．（5分）
或作AD₁⊥OC交⊙O于D₁，交OC于E，連接BD₁，則必有AD₁=AC．（3分）
證明：∵∠C=30°，AD₁⊥OC，
∴AE=

1

2

AC．
又∵AE=

1

2

AD₁，
∴AC=AD₁．（4分）
由OE⊥AD1，得到

AB

=

BD1

，
∴∠BAD₁=∠BD₁A=

1

2

∠AOB=30°，
∴∠ABD₁=120°．（5分）