【題目】綜合與探究:

如圖,拋物線y=x2x4x軸交與A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,以BC為一邊,點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC,點(diǎn)Px軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)Px軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q

1)求點(diǎn)A,BC的坐標(biāo).

2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線l分別交BDBC于點(diǎn)M,N.試探究m為何值時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形,此時(shí),請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由.

3)當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在點(diǎn)Q,使BDQ為直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣20),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(80).點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣4);

2)當(dāng)m=4時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形;

3)符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2,0)或(6,﹣4).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn),可求點(diǎn)A,BC的坐標(biāo).

2)由菱形的對(duì)稱性可知,點(diǎn)D的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式,根據(jù)平行四邊形的性可得關(guān)于m的方程,求得m的值;再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQBM的形狀;

3)分DQ⊥BD,BQ⊥BD兩種情況討論可求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

試題解析:(1)當(dāng)y=0時(shí), x2-x-4=0,解得x1=-2,x2=8,

點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0).

當(dāng)x=0時(shí),y=-4

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4).

2)由菱形的對(duì)稱性可知,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(04).

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,則,

解得k=-,b=4

直線BD的解析式為y=-x+4

∵l⊥x軸,

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,-m+4),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m, m2-m-4).

如圖,當(dāng)MQ=DC時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形,

-m+4-m2-m-4=4--4).

化簡(jiǎn)得:m2-4m=0

解得m1=0(不合題意舍去),m2=4

當(dāng)m=4時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形.

此時(shí),四邊形CQBM是平行四邊形.

∵m=4,

點(diǎn)POB的中點(diǎn).

∵l⊥x軸,

∴l(xiāng)∥y軸,

∴△BPM∽△BOD,

∴BM=DM,

四邊形CQMD是平行四邊形,

∴DM∥CQ,DM=CQ

∴BM∥CQ,BM=CQ,

四邊形CQBM是平行四邊形.

3)拋物線上存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)Q,分別是Q1-2,0),Q26,-4).

△BDQ為直角三角形,可能有三種情形,如圖2所示:

以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn).

此時(shí)以BD為直徑作圓,圓與拋物線的交點(diǎn),即為所求之Q點(diǎn).

∵P在線段EB上運(yùn)動(dòng),

∴-8≤xQ≤8,而由圖形可見,在此范圍內(nèi),圓與拋物線并無交點(diǎn),

故此種情形不存在.

以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn).

連接AD∵OA=2,OD=4,OB=8,AB=10

由勾股定理得:AD=2,BD=4

∵AD2+BD2=AB2,

∴△ABD為直角三角形,即點(diǎn)A為所求的點(diǎn)Q

∴Q1-20);

以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn).

如圖,設(shè)Q2點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),過點(diǎn)Q2Q2K⊥x軸于點(diǎn)K,則Q2K=-y,OK=xBK=8-x

易證△Q2KB∽△BOD,

,即,整理得:y=2x-16

點(diǎn)Q在拋物線上,

y=x2-x-4

x2-x-4=2x-16,解得x=6x=8

當(dāng)x=8時(shí),點(diǎn)Q2與點(diǎn)B重合,故舍去;

當(dāng)x=6時(shí),y=-4,

∴Q26,-4).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】完成下面的推理.

如圖,BE平分ABD,DE平分BDC,且α+β=90°,試說明:ABCD.

完成推理過程:

BE平分∠ABD(已知)

∴∠ABD2α(__________)

DE平分∠BDC(已知),

∴∠BDC2β (__________)

∴∠ABD+∠BDC2α2β2(α+∠β)( __________)

∵∠α+∠β90°(已知)

∴∠ABD+∠BDC180°(__________)

ABCD(____________________)

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1)直接寫出b的值:b=______;

2)當(dāng)x取何值時(shí),0y1≤y2?

3)在x軸上有一點(diǎn)Pm0),過點(diǎn)Px軸的垂線,與直線交于點(diǎn)C,與直線y2x交于點(diǎn)D,若CD2OB,求m的值.

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【題目】為傳播奧運(yùn)知識(shí),小剛就本班學(xué)生對(duì)奧運(yùn)知識(shí)的了解程度進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì):A:熟悉,B:了解較多,C:一般了解.圖1和圖2是他采集數(shù)據(jù)后,繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答以下問題:

(1)在條形圖中,將表示“一般了解”的部分補(bǔ)充完整;

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,計(jì)算出“了解較多”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為______;

(3)如果全年級(jí)共1000名同學(xué),請(qǐng)你估算全年級(jí)對(duì)奧運(yùn)知識(shí)“了解較多”的學(xué)生人數(shù).

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(1)填空:  ;求直線的解析式為 ;

(2)若點(diǎn)軸上一點(diǎn),連接,當(dāng)的面積是面積的2倍時(shí),請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)若函數(shù)的圖象是直線,且、、不能圍成三角形,直接寫出的值.

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