Question

【題目】已知二次函數(shù)y=kx2+ x+ （k是常數(shù)）．
（1）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試求k的取值范圍；
（2）若點(diǎn)（1，k）在某反比例函數(shù)圖象上，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=kx2+ x+ 都是y隨x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件及x的取值范圍；
（3）若拋物線y=kx2+ x+ 與x軸交于A（xA ， 0）、B（xB ， 0）兩點(diǎn)，且xA＜xB ， xA2+xB2=34，若與y軸不平行的直線y=ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，3），且與拋物線交于Q1（x1 ， y1）、Q2（x2 ， y2）兩點(diǎn)，試探究 是否為定值，并寫出探究過(guò)程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數(shù)y=kx2+ x+ 與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴ ，

解得k＜ 且k≠0．

（2）

解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y= ，

∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，k），

∴m=k，

∵反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=kx2+ x+ 都是y隨x的增大而增大，

∴k＜0，

x＜﹣ ，即x＜﹣

（3）

解：結(jié)論： =1．

理由：令y=0，則有kx2+ x+ =0，

∴xA+xB=﹣ ，xAxB= ，

∵xA2+xB2=34，

∴（xA+xB）2﹣2xAxB=34，

∴（ ）2﹣ ﹣34=0，

解得k=﹣ 或

由（1）可知k＜ ，

∴k=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+ ，

設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線為y=kx+b，把P（1，3）代入得3=k+b，

∴b=3﹣k，

∴過(guò)點(diǎn)P的直線為y=kx+3﹣k，

∵過(guò)點(diǎn)P的直線為y=kx+3﹣k與物線交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）兩點(diǎn)，

∴y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，

由 消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，

∴x1+x2=﹣（4k﹣2），x1x2=﹣3﹣4k，

∴ =

=

=

=

=1．

【解析】（1）根據(jù)題意k≠0，△＞0，列出不等式組即可解決問(wèn)題．（2）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y= ，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)（1，k），所以m=k，再根據(jù)條件即可確定k的值以及x的范圍．（3）結(jié)論： =1．令y=0，則有kx2+ x+ =0，所以xA+xB=﹣ ，xAxB= ，根據(jù)xA2+xB2=34，列出方程求出k的值，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線為y=kx+3﹣k，
由由 消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，得x1+x2=﹣（4k﹣2），x1x2=﹣3﹣4k，根據(jù) = ，代入化簡(jiǎn)即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．