Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點E，連接AC，BC，點F是BA延長線上的一點，且∠FCA＝∠B.

(1)求證：CF是⊙O的切線； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝ ，求AB和FC的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ⑵AB=20 ，

【解析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理證明OC⊥CF即可；

（2）通過正切值和圓周角定理，以及∠FCA＝∠B求出CE、BE的長，即可得到AB長，然后根據(jù)直徑和半徑的關(guān)系求出OE的長，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似（或射影定理）證明△OCE∽△CFE，即可根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例求解.

⑴證明：連結(jié)OC

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90°

∴∠B+∠BAC=90°

∵OA=OC

∴∠BAC=∠OCA

∵∠B=∠FCA

∴∠FCA+∠OCA=90°

即∠OCF=90°

∵C在⊙O上

∴CF是⊙O的切線

⑵∵AE=4，tan∠ACD

∴CE=8

∵直徑AB⊥弦CD于點E

∴

∵∠FCA＝∠B

∴∠B=∠ACD=∠FCA

∴∠EOC=∠ECA

∴tan∠B=tan∠ACD=

∴BE=16

∴AB=20

∴OE=AB÷2-AE=6

∵CE⊥AB

∴∠CEO=∠FCE=90°

∴△OCE∽△CFE

∴

即

∴