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如圖,拋物線y=mx2-2mx-3m(m>0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,點M為拋物線的頂點.
(1)求A,B兩點的坐標;
(2)是否存在以BM為斜邊的Rt△BCM的拋物線?若存在,請求出拋物線的解析式;如果不存在,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,若拋物線上有一點P,連接PC交線段BM于Q點,且S△BPQ=S△CMQ,請寫出點P的坐標.

【答案】分析:(1)令y=0,解關于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標;
(2)根據拋物線解析式求出點C的坐標以及頂點M的坐標,然后根據勾股定理列式求出BC2,BM2,MC2,然后在Rt△BMC中,利用勾股定理列式進行計算即可求出m的值,從而得到拋物線解析式;
(3)根據m的值確定出點C、M的坐標,再利用待定系數法求一次函數解析式求出直線BC的解析式,然后根據S△BPQ=S△CMQ時則S△BPC=S△BMC,利用等底同高的三角形的面積相等可知此時MP∥BC,然后根據互相平行的兩直線的解析式的k值相等以及點M的坐標求出直線MP的解析式,聯立拋物線解析式求解即可得到點P的坐標.
解答:解:(1)令y=0,則mx2-2mx-3m=0,
即x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
所以,點A(-1,0),B(3,0);

(2)令x=0,則y=-3m,
∴點C坐標為(0,-3m),
∵y=mx2-2mx-3m=m(x-1)2-4m,
∴拋物線的對稱軸為直線x=1,頂點M坐標為(1,-4m),
∴BC2=32+(3m)2=9+9m2,BM2=(3-1)2+(4m)2=4+16m2,MC2=12+[(-3m-(-4m)]2=1+m2,
∵Rt△BCM以BM為斜邊,
∴BC2+MC2=BM2,
即9+9m2+1+m2=4+16m2,
整理得,m2=1,
解得m=±1,
∵m>0,
∴m=1,
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3;

(3)在(2)的條件下,點C坐標為(0,-3),M(1,-4),
設直線BC的解析式為y=kx+b,

解得,
所以直線BC的解析式為y=x-3,
∵S△BPQ=S△CMQ,
∴S△BPQ+S△BCQ=S△CMQ+S△BCQ,
即S△BPC=S△BMC,
∴點P到BC的距離等于點M到BC的距離,
∴MP∥BC,
設MP的解析式為y=x+c,
則1+c=-4,
解得c=-5,
所以,直線MP的解析式為y=x-5,
聯立,
解得(為點M坐標),
所以,點P的坐標為(2,-3).
點評:本題是二次函數綜合題型,主要考查了求拋物線與坐標軸的交點,拋物線的頂點坐標的求解,勾股定理的應用,待定系數法求一次函數解析式,同底等高的三角形的面積相等,平行直線的解析式的k值相等,聯立兩函數解析式求交點坐標的問題,(3)利用過點M與BC平行的直線聯立拋物線解析式求解是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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3
3
x2+mx+
3
與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,A點坐標為(-1,0)
(1)求m的值和點B的坐標;
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12
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