Question

【題目】等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，P是BC邊上的任一點(diǎn)（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊△APD和等邊△APE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N（如圖1）．

（1）求證：AM=AN；
（2）設(shè)BP=x．
①若BM= ，求x的值；
②求四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值；
③連接DE分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H（如圖2）．當(dāng)x為何值時(shí)，∠BAD=15°？此時(shí)，以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：∵△ABC、△APD和△APE是等邊三角形，

∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，

∴∠DAM=∠PAN．

在△ADM和△APN中，

∵ ，

∴△ADM≌△APN，

∴AM=AN

（2）

解：①∵△ABC、△ADP是等邊三角形，

∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，

∴∠DAM=∠PAC，

∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，

∴180°﹣∠ADM﹣∠DMA=180°﹣∠B﹣∠BMP，

∴∠DAM=∠BPM，

∴∠BPM=∠NAP，

∴△BPM∽△CAP，

∴ ，

∵BM= ，AC=2，CP=2﹣x，

∴4x2﹣8x+3=0，

解得x1= ，x2= ．

②∵四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積，△ADM≌△APN，

∴S△ADM=S△APN，

∴S四邊形AMPN=S△APM+S△APN=S△AMP+S△ADM=S△ADP．

過(guò)點(diǎn)P作PS⊥AB，垂足為S，

在Rt△BPS中，

∵∠B=60°，BP=x，

∴PS=BPsin60°= x，BS=BPcos60°= x，

∵AB=2，

∴AS=AB﹣BS=2﹣ x，

∴AP2=AS2+PS2= =x2﹣2x+4．

取AP的中點(diǎn)T，連接DT，在等邊三角形ADP中，DT⊥AP，

∴S△ADP= APDT= AP× = ，

∴S=S四邊形AMPN=S△ADP= = （0＜x＜2），

∴當(dāng)x=1時(shí)，S的最小值是 ．

③連接PG，若∠DAB=15°，

∵∠DAP=60°，

∴∠PAG=45°．

∵△APD和△APE是等邊三角形，

∴四邊形ADPE是菱形，

∴DO垂直平分AP，

∴GP=AG，

∴∠PAG=∠APG=45°，

∴∠PGA=90°．

設(shè)BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，

∴BP=2t，PG= t，

∴AG=PG= t，

∴ t+t=2，

解得t= ﹣1，

∴BP=2t=2 ﹣2．

∴當(dāng)BP=2 ﹣2時(shí)，∠BAD=15°．

猜想：以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形為直角三角形．

設(shè)DE交AP于點(diǎn)O，

∵△APD和△APE是等邊三角形，

∴AD=DP=AP=PE=EA，

∴四邊形ADPE為菱形，

∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30°．

∵∠DAB=15°，

∴∠GAO=45°，

∴∠AGO=45°，∠HAO=15°，

∴∠EAH=45°．

設(shè)AO=a，則AD=AE=2a，GO=AO=a，OD= a．

∴DG=DO﹣GO=（ ﹣1）a．

∵∠DAB=15°，∠BAC=60°，∠ADO=30°，

∴∠DHA=∠DAH=75°．

∴DH=AD=2a，

∴GH=DH﹣DG=2a﹣（ ﹣1）a=（3﹣ ）a．

HE=DE﹣DH=2DO﹣DH=2 a﹣2a．

∵DG2+GH2= ，

HE2= = ．

∴DG2+GH2=HE2，

∴以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形為直角三角形．

【解析】（1）由已知條件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，從而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出結(jié)論．（2）①由已知條件可以得出△BPM∽△CAP，可以得出 ，由已知條件可以建立方程求出BP的值．②四邊形AMPN的面積就是四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積，由△ADM≌△APN，S△ADM=S△APN ， 可以得出重合部分的面積就是△ADP的面積．③連接PG，若∠DAB=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知條件可以得出四邊形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，設(shè)BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG= t，從而求得t的值，即可以求出結(jié)論．以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形為直角三角形，由已知條件可知四邊形ADPE為菱形，可以得到∠ADO=∠AEH=30°，根據(jù)∠DAB=15°，可以求出∠AGO=45°，∠HAO=15°，∠EAH=45°．設(shè)AO=a，則AD=AE=2a，OD= a，得到DG=（ ﹣1）a，由∠DAB=15°，可以求出∠DHA=∠DAH=75°，求得GH=（3﹣ ）a，HE=2（ ﹣1）a，最后由勾股定理的逆定理就可以得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．