Question

【題目】如圖，中，，點(diǎn)是內(nèi)一個動點(diǎn)，且滿足，當(dāng)線段取最小值時，記，線段上一動點(diǎn)繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，且滿足 ，則的最小值為 _____________

Answer 1

【答案】

【解析】

先確定CD最小時，點(diǎn)D的位置，將DA繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)，得到DG，連接GE，利用SAS即可證出△GDE≌△ADF，從而得出GE=AF，可得當(dāng)GE⊥AB時，GE最小，即AF最小，然后過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GH⊥DM交DM的延長線于H，利用相似三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)即可求出結(jié)論．

解：∵，

∴∠DBC＋∠ABD=90°

∵，設(shè)=

∴∠DAB＋∠ABD=90°

∴∠ADB=90°

∴點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為O，半徑為，易知當(dāng)O、D、C三點(diǎn)共線時CD最小，

∴OD=OB=OA=3，

∴OC=

將DA繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)，得到DG，連接GE，

∴DG=DA，∠GDA=∠EDF=

∴∠GDE=∠ADF

∵DE=DF

∴△GDE≌△ADF

∴GE=AF

∴當(dāng)GE⊥AB時，GE最小，即AF最小

過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GH⊥DM交DM的延長線于H

∴DM∥BC，四邊形GHME為矩形

∴△OMD∽△OBC，GE=HM

∴

即

∴DM=，OM=

∴AM=OM＋OA=

∵=，OA=OD

∴∠ODA=∠OAD=

∴∠BOC=∠ODA＋∠OAD=2

在Rt△OBC中，∠OCB=90°－∠BOC

即=90°－2

∵∠MAD＋∠MDA=90°

∴＋＋∠GDH=90°

∴＋90°－2＋∠GDH=90°

∴∠GDH==∠DAM

∵∠DHG=∠AMD=90°，AD=DG

∴△GDH≌△DAM

∴DH=AM=

∴HM=DH－DM=

∴AF=GE=HM=

即AF的最小值為

故答案為：．