Question

【題目】某藥廠銷售部門根據市場調研結果，對該廠生產的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預測，并建立如下模型：設第t個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），P與t之間存在如圖所示的函數關系，其圖象是函數p＝（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合；設第t個月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關系：

Q＝

（1）當8＜t≤24時，求P關于t的函數解析式；

（2）設第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為W（單位：萬元）．

①求W關于t的函數解析式；

②第幾個月銷售該原料藥的月毛利潤最大？對應的月銷售量是多少？

Answer 1

【答案】（1）p＝t+2;（2）①見解析;②第21個月， 529元.

【解析】

（1）設8＜t≤24時，p＝kt+b，把A,B點代入即可解答.

（2）①根據題意分情況進行討論當0＜t≤8時，w＝240；當8＜t≤12時，w＝2t2+12t+16；當12＜t≤24時，w＝﹣t2+42t+88；②分情況討論：當8＜t≤12時，w＝2（t+3）2﹣2；t＝12時，取最大值，W＝448；當12＜t≤24時，w＝﹣（t﹣21）2+529，當t＝21時取得最大值529；

解：

（1）設8＜t≤24時，p＝kt+b

將A（8，10）、B（24，26）代入，得

，解得

∴當8＜t≤24時，P關于t的函數解析式為：p＝t+2

（2）①當0＜t≤8時，w＝（2t+8）×＝240

當8＜t≤12時，w＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16

當12＜t≤24時，w＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88

綜上所述，W關于t的函數解析式為：

②當8＜t≤12時，w＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2

∵8＜t≤12時，W隨t的增大而增大

∴t＝12時，取最大值，W＝2（12+3）2﹣2＝448,

當12＜t≤24時，w＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529

∵12＜t≤24時，當t＝21時取得最大值，此時的最大值為529

∴第21個月銷售該原料藥的月毛利潤最大，對應的月銷售量是529元.