Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，CD=6，以CD為直徑的⊙O切AB于G，設(shè)AG²=y，AC=x．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍．
（2）利用所求出的函數(shù)關(guān)系式，求當(dāng)AC為何值時(shí)，才能使得BC與⊙O的直徑相等？
（3）△ACB有可能為等腰三角形嗎？若可能，請(qǐng)求出x的值；若不可能，請(qǐng)說(shuō)出理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用勾股定理求出即可；
（2）利用三角形相似的判定得出Rt△OAG∽R(shí)t△BAC，進(jìn)而得出答案．
（3）由Rt△OAG∽R(shí)t△BAC，當(dāng)△BAC為等腰三角形時(shí)，△OAG也為等腰三角形，進(jìn)而得出答案．
解答：解：（1）連接OG，則OG⊥AG．
∴AG²=AO²-OG²
即y=（x-3）²-3²，∴y=x²-6x（x＞6）

（2）?Rt△OAG∽R(shí)t△BAC?
即?x²-8x=0
因?yàn)閤≠0x=8．
即當(dāng)AC=8時(shí)，有BC與直徑DC相等．

（3）∵Rt△OAG∽R(shí)t△BAC，
故當(dāng)△BAC為等腰三角形時(shí)，△OAG也為等腰三角形，這時(shí)必有AG=OG=3．
將y=AG²=3²=9代入y=x²-6x得x²-6x-9=0
解得x₁=3+3（不符題意，舍去）
所以，當(dāng)x=3+3時(shí)，△ACB為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出Rt△OAG∽R(shí)t△BAC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．