【題目】如圖,在RtABC中,C=90°,BE平分ABC交AC于點E,點D在AB上,DEEB.

(1)求證:AC是BDE的外接圓的切線;

(2)若AD=2,AE=6,求EC的長.

【答案】(1)證明見解析(2)3

【解析】

試題分析:(1)取BD的中點0,連結(jié)OE,如圖,由BED=90°,根據(jù)圓周角定理可得BD為BDE的外接圓的直徑,點O為BDE的外接圓的圓心,再證明OEBC,得到AEO=C=90°,于是可根據(jù)切線的判定定理判斷AC是BDE的外接圓的切線;

(2)設(shè)O的半徑為r,根據(jù)勾股定理得62+r2=(r+22,解得r=2,根據(jù)平行線分線段成比例定理,由OEBC得,然后根據(jù)比例性質(zhì)可計算出EC.

試題解析:(1)證明:取BD的中點0,連結(jié)OE,如圖,

DEEB,

∴∠BED=90°,

BD為BDE的外接圓的直徑,點O為BDE的外接圓的圓心,

BE平分ABC,

∴∠CBE=OBE,

OB=OE,

∴∠OBE=OEB,

∴∠EB=CBE,

OEBC,

∴∠AEO=C=90°,

OEAE,

AC是BDE的外接圓的切線;

(2)解:設(shè)O的半徑為r,則OA=OD+DA=r+2,OE=r,

在RtAEO中,AE2+OE2=AO2,

62+r2=(r+22,解得r=2,

OEBC,

,即

CE=3.

練習冊系列答案
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