【題目】問(wèn)題發(fā)現(xiàn):
(1)如圖①,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是AB上點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、B重合),將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得射線與BC交于點(diǎn)F,則四邊形OEBF的面積為 .
問(wèn)題探究:
(2)如圖②,線段BQ=10,C為BQ上點(diǎn),在BQ上方作四邊形ABCD,使∠ABC=∠ADC=90°,且AD=CD,連接DQ,求DQ的最小值;
問(wèn)題解決:
(3)“綠水青山就是金山銀山”,某市在生態(tài)治理活動(dòng)中新建了一處南山植物園,圖③為南山植物園花卉展示區(qū)的部分平面示意圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AD=CD,AC=600米.其中AB、BD、BC為觀賞小路,設(shè)計(jì)人員考慮到為分散人流和便觀賞,提出三條小路的長(zhǎng)度和要取得最大,試求AB+BD+BC的最大值.
【答案】(1)4;(2)5;(3)600(+1).
【解析】
(1)如圖①中,證明△EOB≌△FOC即可解決問(wèn)題;
(2)如圖②中,連接BD,取AC的中點(diǎn)O,連接OB,OD.利用四點(diǎn)共圓,證明∠DBQ=∠DAC=45°,再根據(jù)垂線段最短即可解決問(wèn)題.
(3)如圖③中,將△BDC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDA,首先證明AB+BC+BD=(+1)BD,當(dāng)BD最大時(shí),AB+BC+BD的值最大.
解:(1)如圖①中,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠EOF=∠BOC,
∴∠EOB=∠FOC,
∴△EOB≌△FOC(SAS),
∴S△EOB=S△OFC,
∴S四邊形OEBF=S△OBC=S正方形ABCD=4,
故答案為:4;
(2)如圖②中,連接BD,取AC的中點(diǎn)O,連接OB,OD.
∵∠ABD=∠ADC=90°,AO=OC,
∴OA=OC=OB=OD,
∴A,B,C,D四點(diǎn)共圓,
∴∠DBC=∠DAC,
∵DA=DC,∠ADC=90°,
∴∠DAC=∠DCA=45°,
∴∠DBQ=45°,
根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)QD⊥BD時(shí),QD的值最短,DQ的最小值=BQ=5.
(3)如圖③中,將△BDC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDA,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BCD+∠BAD=∠EAD+BAD=180°,
∴B,A,E三點(diǎn)共線,
∵DE=DB,∠EDB=90°,
∴BE=BD,
∴AB+BC=AB+AE=BE=BD,
∴BC+BC+BD=(+1)BD,
∴當(dāng)BD最大時(shí),AB+BC+BD的值最大,
∵A,B,C,D四點(diǎn)共圓,
∴當(dāng)BD為直徑時(shí),BD的值最大,
∵∠ADC=90°,
∴AC是直徑,
∴BD=AC時(shí),AB+BC+BD的值最大,最大值=600(+1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知k為實(shí)數(shù),關(guān)于x的方程為x2﹣2(k+1)x+k2=0.
(1)請(qǐng)判斷x=﹣1是否可為此方程的根,說(shuō)明理由.
(2)設(shè)方程的兩實(shí)根為x1,x2,當(dāng)2x1+2x2+1=x1x2時(shí),試求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)不透明的布袋中裝有4個(gè)只有顏色不同的球,其中1個(gè)黃球、1個(gè)藍(lán)球、2個(gè)紅球.
(1)任意摸出1個(gè)球,記下顏色后不放回,再任意摸出1個(gè)球.求兩次摸出的球恰好都是紅球的概率(要求畫樹(shù)狀圖或列表);
(2)現(xiàn)再將n個(gè)黃球放入布袋,攪勻后,使任意摸出1個(gè)球是黃球的概率為,求n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(類比概念)三角形的內(nèi)切圓是以三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)為圓心,以這點(diǎn)到三邊的距離為半徑的圓,則三角形可以稱為圓的外切三角形,可以得出三角形的三邊與該圓相切.以此類推,如圖1,各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形
(性質(zhì)探究)如圖1,試探究圓外切四邊形的ABCD兩組對(duì)邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系
猜想結(jié)論: (要求用文字語(yǔ)言敘述)
寫出證明過(guò)程(利用圖1,寫出已知、求證、證明)
(性質(zhì)應(yīng)用)
①初中學(xué)過(guò)的下列四邊形中哪些是圓外切四邊形 (填序號(hào))
A:平行四邊形:B:菱形:C:矩形;D:正方形
②如圖2,圓外切四邊形ABCD,且AB=12,CD=8,則四邊形的周長(zhǎng)是 .
③圓外切四邊形的周長(zhǎng)為48cm,相鄰的三條邊的比為5:4:7,求四邊形各邊的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=8,cosB=,點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以CE為半徑的⊙C與邊AD有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),半徑CE的取值范圍是( )
A. 0<CE≤8 B. 0<CE≤5 C. 3<CE≤8 D. 3<CE≤5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,D為⊙O上一點(diǎn),OD⊥AC,垂足為E,連接BD.
(1)求證:BD平分∠ABC;
(2) 當(dāng)∠ODB=30°時(shí),求證:BC=OD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A是半徑為6cm的⊙O上的定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以πcm/s的速度沿圓周按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P回到A時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s);
(1)當(dāng)t=6s時(shí),∠POA的度數(shù)是________;
(2)當(dāng)t為多少時(shí),∠POA=120°;
(3)如果點(diǎn)B是OA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且AB=AO,問(wèn)t為多少時(shí),△POB為直角三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為鄧小平誕辰110周年獻(xiàn)禮,廣安市政府對(duì)城市建設(shè)進(jìn)行了整改,如圖,已知斜坡AB長(zhǎng)60米,坡角(即∠BAC)為45°,BC⊥AC,現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分斜坡,修建一個(gè)平行于水平線CA的休閑平臺(tái)DE和一條新的斜坡BE(下面兩個(gè)小題結(jié)果都保留根號(hào)).
(1)若修建的斜坡BE的坡比為:1,求休閑平臺(tái)DE的長(zhǎng)是多少米?
(2)一座建筑物GH距離A點(diǎn)33米遠(yuǎn)(即AG=33米),小亮在D點(diǎn)測(cè)得建筑物頂部H的仰角(即∠HDM)為30°.點(diǎn)B、C、A、G,H在同一個(gè)平面內(nèi),點(diǎn)C、A、G在同一條直線上,且HG⊥CG,問(wèn)建筑物GH高為多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校團(tuán)委舉辦了一次“中國(guó)夢(mèng)我的夢(mèng)”演講比賽滿分10分,學(xué)生得分均為整數(shù),成績(jī)達(dá)6分以上(含6分)為合格,達(dá)到9分以上(含9分)為優(yōu)秀.如圖所示是這次競(jìng)賽中甲、乙兩組學(xué)生成績(jī)分布的條形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)補(bǔ)充完成下列的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表:
組別 | 平均分 | 中位數(shù) | 方差 | 合格率 | 優(yōu)秀率 |
甲 | 6 | 3.41 | 90% | 20% | |
乙 | 7.1 | 1.69 | 80% | 10% |
(2)小明同學(xué)說(shuō):“這次競(jìng)賽我得了7分,在我們小組中排名屬中游略偏上!”觀察上表可知,小明是______組學(xué)生;(填“甲”或“乙”)
(3)甲組同學(xué)說(shuō)他們組的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組,所以他們組的成績(jī)好于乙組.但乙組同學(xué)不同意甲組同學(xué)的說(shuō)法,認(rèn)為他們組的成績(jī)要好于甲組.請(qǐng)你給出兩條支持乙組同學(xué)觀點(diǎn)的理由.
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