精英家教網(wǎng)已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，G是
BC
的中點(diǎn)，連接AG交BC于D，過D的直線交AB于E，交AC的延長(zhǎng)線于F；
求證：AB•AC-BD•DC=AE•AF-ED•DF．
分析：在本題中，易證△ABG∽△ADC，從而得出
AB
AG
=
AD
AC
，即AB•AC=AG•AD，再者根據(jù)相交弦定理可知BD•CD=AD•DG，從而利用線段之間的和差關(guān)系得出結(jié)論．
解答：精英家教網(wǎng)證明：連接BG，
∵∠BAG=∠GAF，∠G=∠ACB，
∴△ABG∽△ADC．
∴AB：AG=AD：AC．
∴AB•AC=AG•AD．
∵BD•CD=AD•DG，
∴AB•AC-BD•CD=AG•AD-AD•DG．
∴AB•AC-BD•CD=AD•（AG-DG）．
∵AG-DG=AD，
∴AB•AC-BD•CD=AD2．
同理：AE•AF-ED•DF=AD2．
∴AB•AC-BD•CD=AE•AF-ED•DF．
點(diǎn)評(píng)：此題是相似三角形的一個(gè)變形，主要考查對(duì)應(yīng)邊成比例，把比例式變?yōu)榈确e式．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

17、已知，如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)M，AN平分∠DAC，交BC于點(diǎn)N．
求證：四邊形AMNE是菱形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，∠ABC、∠ACB 的平分線相交于點(diǎn)F，過F作DE∥BC于D，交AC 于E，且AB=6，AC=5，求三角形ADE的周長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且BD=CE，DE交BC于F，求證：BF=CF+CE．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點(diǎn)D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC，BD=DE，點(diǎn)E在AC的垂直平分線上．
（1）請(qǐng)問：AB、BD、DC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（2）如果∠B=60°，請(qǐng)問BD和DC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

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