Question

將兩塊全等的含30°的直角三角尺按如圖1擺放在一起，設較短的直角邊為1
（1）四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說出你的結論和理由：
（2）如圖2，Rt△BCD沿射線BD方向平移到Rt△B₁C₁D₁的位置，問四邊形ABC₁D₁是平行四邊形嗎？說出你的結論和理由：
（3）如圖3，在將Rt△BCD沿射線BD方向平移的過程中，當點B的移動距離為

 

時，四邊形ABC₁D₁為菱形，其理由是

 

：
（4）如圖4，在將Rt△BCD沿射線BD方向平移的過程中，四邊形ABC₁D₁恰好為矩形，設點B移動的距離等于x，則x²=

 

．

Answer 1

分析：（1）由于圖中擺放的兩個三角形是全等三角形，那么∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD，由此得四邊形ABCD的兩組對邊分別平行，由此可判定四邊形ABCD是平行四邊形．
（2）可按照（1）的思路進行求解；那么就需要證出BC₁∥AD₁，即∠AD₁B=∠C₁BD₁，觀察圖形，證△BB₁C₁≌△D₁DA即可．
（3）若平行四邊形ABC₁D₁是菱形，那么邊AB=BC₁，即此時△ABD≌△C₁BB₁，那么BB₁=BD，即D、B₁重合，此時B點移動的距離為BD的長，即

3

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（4）若平行四邊形ABC₁D₁恰好為矩形，那么∠ABC₁必為直角，即∠C₁BB₁=60°，在Rt△C₁BB₁中，已知了B₁C₁的長，根據直角三角形的性質即可求得BB₁的長，即x的值，進而可得x²的值．

解答：解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形；
理由：由于△ABD、△BCD是全等三角形，故∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，即AB∥CD、BC∥AD；
因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，所以四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）四邊形ABC₁D₁是平行四邊形；
證明：由題意知：B₁C₁=AD，BB₁=DD₁，∠BB₁C₁=∠ADD₁=90°，
∴△ADD₁≌△C₁B₁B，
∴∠AD₁B=∠C₁BD，即BC₁∥AD₁；
易知：∠ABD=∠C₁D₁B，即AB∥C₁D₁，
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形．

（3）若平行四邊形ABC₁D₁為菱形，則AB=BC₁，
又∵B₁C₁=AD，∠BB₁C₁=∠ADB=90°，
∴△BC₁B₁≌△BAD，得BB₁=BD，即B₁、D重合；
易知BD=

3

，所以若四邊形ABC₁D₁為菱形，點B需要移動

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個單位長度；
理由是：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．

（4）若平行四邊形ABC₁D₁為矩形，則∠ABC₁=90°，∠B₁BC₁=60°；
Rt△BB₁C₁中，B₁C₁=1，若∠B₁BC₁=60°，則BB₁=

3

3

；
故x²=(

3

3

)2=

1

3

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點評：此題主要考查了全等三角形的性質，平行四邊形、菱形和矩形的判定等知識，難度不大．