Question

【題目】如圖，正方形中，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動(dòng)，且滿足，分別與相交于點(diǎn)，下列說(shuō)法中：①；②點(diǎn)到線段的距離一定等于正方形的邊長(zhǎng)；③若，則；④若，，則．其中結(jié)論正確的是___________；（將正確的序號(hào)填寫(xiě)在橫線上）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，得到∠EAH=∠EAF=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+BH=BE+DF=EF，故①正確；過(guò)A作AG⊥EF于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=AG，于是得到點(diǎn)A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長(zhǎng)；故②正確；根據(jù)三角函數(shù)的定義設(shè)BE=m，AB=2m，求得CE=m，設(shè)DF=x，則CF=2m-x，EF=BE+DF=m+x，根據(jù)勾股定理得到x=m，于是得到tan∠DAF= ；故③正確；求得EF=BE+DF=5，設(shè)BC=CD=n，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

如圖，把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

在△AEF和△AEH中

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH=EF，

∴∠AEB=∠AEF，

∴BE+BH=BE+DF=EF，

故①正確；

過(guò)A作AG⊥EF于G，

∴∠AGE=∠ABE=90°，

在△ABE與△AGE中

∴△ABE≌△AGE（AAS），

∴AB=AG，

∴點(diǎn)A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長(zhǎng)；故②正確；

∵tan∠BAE==，

∴設(shè)BE=m，AB=2m，

∴CE=m，

設(shè)DF=x，則CF=2m-x，EF=BE+DF=m+x，

∵CF2+CE2=EF2，

∴（2m-x）2+m2=（m+x）2，

∴x=m，

∴tan∠DAF=；故③正確；

∵BE=2，DF=3，

∴EF=BE+DF=5，

設(shè)BC=CD=n，

∴CE=n-2，CF=n-3，

∴EF2=CE2+CF2，

∴25=（n-2）2+（n-3）2，

∴n=6（負(fù)值舍去），

∴AG=6，

∴S△AEF=×6×5=15．故④正確，

故答案為：①②③④．