【題目】中,射線平分于點,點邊上運動(不與點重合),過點于點.

1)如圖1,點在線段上運動時,平分.

①若,,則_____;若,則_____;

②試探究之間的數(shù)量關系?請說明理由;

2)點在線段上運動時,的角平分線所在直線與射線交于點.試探究之間的數(shù)量關系,并說明理由.

【答案】1)①115°,110°;②,證明見解析;(2,證明見解析.

【解析】

1)①根據(jù)角平分線的定義求得∠CAG=BAC=50°;再由平行線的性質可得∠EDG=C=30°,∠FMD=GAC=50°;由三角形的內角和定理求得∠AFD的度數(shù)即可;已知AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=BAC,∠FDM=EDG;由DE//AC,根據(jù)平行線的性質可得∠EDG=C,∠FMD=GAC;即可得∠FDM +FMD=EDG +GAC=C+BAC=(∠BAC+C=×140°=70°;再由三角形的內角和定理可求得∠AFD=110°;②∠AFD=90°+B,已知AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=BAC,∠FDM=EDG;由DE//AC,根據(jù)平行線的性質可得∠EDG=C,∠FMD=GAC;由此可得∠FDM +FMD=EDG +GAC=C+BAC=(∠BAC+C=×(180°-B=90°-B;再由三角形的內角和定理可得∠AFD=90°+B;(2)∠AFD=90°-B,已知AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=BAC,∠NDE=EDB,即可得∠FDM=NDE=EDB;由DE//AC,根據(jù)平行線的性質可得∠EDB=C,∠FMD=GAC;即可得到∠FDM=NDE=C,所以∠FDM +FMD =C+BAC=(∠BAC+C=×(180°-B=90°-B;再由三角形外角的性質可得∠AFD=FDM +FMD=90°-B.

1)①∵AG平分∠BAC,∠BAC=100°,

∴∠CAG=BAC=50°;

,∠C=30°,

∴∠EDG=C=30°,∠FMD=GAC=50°;

DF平分∠EDB,

∴∠FDM=EDG=15°;

∴∠AFD=180°-FMD-FDM=180°-50°-15°=115°;

∵∠B=40°,

∴∠BAC+C=180°-B=140°;

AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,

∴∠CAG=BAC,∠FDM=EDG,

DE//AC,

∴∠EDG=C,∠FMD=GAC

∴∠FDM +FMD=EDG +GAC=C+BAC=(∠BAC+C=×140°=70°;

∴∠AFD=180°-(∠FDM +FMD=180°-70°=110°;

故答案為:115°,110°;

②∠AFD=90°+B,理由如下:

AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,

∴∠CAG=BAC,∠FDM=EDG,

DE//AC,

∴∠EDG=C,∠FMD=GAC;

∴∠FDM +FMD=EDG +GAC=C+BAC=(∠BAC+C=×(180°-B=90°-B;

∴∠AFD=180°-(∠FDM +FMD=180°-90°-B=90°+B;

2)∠AFD=90°-B,理由如下:

如圖,射線EDAG于點M,

AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,

∴∠CAG=BAC,∠NDE=EDB,

∴∠FDM=NDE=EDB,

DE//AC

∴∠EDB=C,∠FMD=GAC

∴∠FDM=NDE=C,

∴∠FDM +FMD =C+BAC=(∠BAC+C=×(180°-B=90°-B;

∴∠AFD=FDM +FMD=90°-B.

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