【題目】如圖,在在平面直角坐標系中,拋物線的頂點坐標為,點C(0,6)是拋物線與y的交點.
(1)求拋物線與x軸的交點A,B的坐標(A在B的左邊);
(2)設直線y=h(h為常數(shù),0<h<6)與直線BC交于點D,與y交于點E,與AC交于點F,連AE,定點M的坐標為(﹣2,0).
①求h為何值時,△AEF的面積S最大;
②問:是否存在這樣的直線y=h,使△BDM是等腰三角形?若存在,請求出h的值和點D的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(﹣3,0),B(2,0);(2)①當h=3時,△AEF的面積S最大;②存在直線y=h使△BDM是等腰三角形,當h=時,點D的坐標為(,);當h=時,點D的坐標為(2﹣,).
【解析】
(1)設拋物線的解析式為y=a(x+)2+,將C(0,6)代入拋物線即可求a,再令y=0從而可求出A,B兩點的坐標;
(2)分別求出直線AC的解析式為y=2x+6,直線BC的解析式為y=﹣3x+6,①根據(jù)題意可得E(0,h),F(h﹣3,h),則S=×h×(3﹣h),將解析式化為頂點式可求得△AEF的面積S最大;②先求出D(2﹣h,h),BM=4,再分以下三種情況求解:當MB=MD=4時,根據(jù)MD2=16,結合勾股定理列出關于h的方程,求出h以及點D坐標;當MB=DB=4時,根據(jù)DB2=16,結合勾股定理列出關于h的方程,求出h以及點D坐標;當MD=BD時,因為O為BM的中點,且y軸垂直平分BM,則點D在y軸上,此時不成立.
解:(1)拋物線的頂點坐標為,
設拋物線的解析式為y=a(x+)2+,
又C(0,6)在拋物線上,
∴6=a+,
∴a=﹣1,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+6,
令y=0,得﹣x2﹣x+6=0,解得x1=-3,x2=2,
∴A(﹣3,0),B(2,0);
(2)設直線AC的解析式為y=kx+b,將點A(-3,0),點C(0,6)代入解析式得,
,解得,
∴直線AC的解析式為y=2x+6,
同理可求得直線BC的解析式為y=﹣3x+6,
①根據(jù)題意可得E(0,h),
又點F在直線AC上,且點F的縱坐標為h,∴點F的坐標為(h﹣3,h),
∴S=×h×(3﹣h)=﹣h2+h=﹣(h﹣3)2+,
當h=3時,△AEF的面積S最大;
②∵點D在直線BC上,且點D的縱坐標h,∴點D坐標為(2﹣h,h),
∵M的坐標為(﹣2,0),∴BM=4,
當MB=MD時,MD=4,
∴MD2=+h2=16,
∴h=或h=0,
∵0<h<6,
∴h=,
∴D(,);
當MB=DB時,
h2+h2=16,
∴h=±,
∴h=,
∴D(2﹣,);
當MD=BD時,
又因為O為BM的中點,且y軸垂直平分BM,則點D在y軸上,
∴此時不成立.
綜上所述,存在直線y=h使△BDM是等腰三角形,當h=時,點D的坐標為(,);當h=時,點D的坐標為(2﹣,).
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【題目】某商場要經(jīng)營一種新上市的文具,進價為元件.試營銷階段發(fā)現(xiàn):當銷售單價是元時,每天的銷售量為件;銷售單價每上漲元,每天的銷售量就減少件.
(1)寫出商場銷售這種文具,每天所得的銷售利潤(元)與銷售單價(元)之間的函數(shù)關系式.
(2)當銷售單價定為多少元時,該文具每天的銷售利潤最大?最大利潤為多少元?
(3)商場的營銷部結合上述情況,提出了,兩種營銷方案:
方案:該文具的銷售單價高于進價,但不超過元;
方案:每天銷售量不少于件,且每件文具的利潤至少為元.
請比較哪種方案的最大利潤更高,并說明理由.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點,與軸交于點.點在函數(shù)圖象上,軸,且,直線是拋物線的對稱軸,是拋物線的頂點.
(1)求的值;
(2)如圖①,連接, 線段上的點關于直線的對稱點F'恰好在線段BE上,求點的坐標;
(3)如圖②,動點在線段上,過點作軸的垂線分別與交于點,與拋物線交于點.試問:直線右側的拋物線上是否存在點,使得與的面積相等,且線段的長度最小?如果存在,求出點的坐標;如果不存在,說明理由.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,小聰同學利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作:
①作∠BAC的平分線AM交BC于點D;
②作邊AB的垂直平分線EF,EF與AM相交于點P;
③連接PB,PC.
請你觀察圖形解答下列問題:
(1)線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關系是 ;
(2)若∠ABC=70°,求∠BPC的度數(shù).
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,其對稱軸x=﹣1,給出下列結果:①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a﹣b+c<0;⑤3a+c>0.其中正確結論的序號是_____.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=,∠B=120°,點E是AD邊上的一個動點(不與A,D重合),EF∥AB交BC于點F,點G在CD上,DG=DE.若△EFG是等腰三角形,則DE的長為_____.
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【題目】已知:直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A、B,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A、B,且交x軸于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P為拋物線上一點,且點P在AB的下方,設點P的橫坐標為m.
①試求當m為何值時,△PAB的面積最大;
②當△PAB的面積最大時,過點P作x軸的垂線PD,垂足為點D,問在直線PD上否存在點Q,使△QBC為直角三角形?若存在,直接寫出符合條件的Q的坐標若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖所示,已知二次函數(shù)經(jīng)過點B(3,0),C(0,3),D(4,-5)
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)若P是拋物線上一點,且S△ABP=S△ABC,這樣的點P有幾個請直接寫出它們的坐標.
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【題目】(10分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點,且AE∥CD,CE∥AB.
(1)四邊形ADCE是菱形;
(2)若∠B=60°,BC=6,求菱形ADCE的高.(計算結果保留根號)
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