【題目】已知:如圖,在等腰直角中,斜邊

1)請(qǐng)你在圖邊上求作一點(diǎn),使得;

2)如圖,在(1)問的條件下,將邊沿方向平移,使得點(diǎn)、、對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、,連接,.若平移的距離為1,求的大小及此時(shí)四邊形的面積;

3)將邊沿方向平移個(gè)單位至,是否存在這樣的,使得在直線上有一點(diǎn),滿足,且此時(shí)四邊形的面積最大?若存在,求出四邊形面積的最大值及平移距離的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1)詳見解析;(2,;(3)存在,當(dāng)時(shí),四邊形面積最大值為

【解析】

1)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì),取AC中點(diǎn)為點(diǎn)P即可.

2)延長(zhǎng)APCD相交于點(diǎn)M,取AB的中點(diǎn)F,連接PF.證明△APE≌△MPD,得到AP=MP,從而可得PF是△ABM的中位線.進(jìn)而得到PFAB的垂直平分線,這樣可以得出∠APB=2M=2EAP.由AE=PE可得∠M=MPD=EPA=EAP,所以可得∠PDB=2M,由ACED可得∠PDB=ACB=45°,所以∠APB=45°

3)如圖,以AB為邊長(zhǎng),在直線AB的右側(cè)作等邊三角形ABO,在以O為圓心、OA長(zhǎng)為半徑作⊙O.過點(diǎn)OOMAC,交⊙O于點(diǎn)M,點(diǎn)MAC的右上方.過點(diǎn)MAC的平行線DE,AEBC,BC的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)D.則此時(shí)滿足∠AMB=30°,此時(shí)四邊形ABDE的面積最大.

解:(1)利用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì),取AC的中點(diǎn)P,連接BP即可,如下圖所示:

(2)如下圖所示:

延長(zhǎng)AQ、CD相交于點(diǎn)M,取AB的中點(diǎn)F,連接PF

由平移的性質(zhì)可得,DE=AC=2AE=CD=1,ACDE,AECD

設(shè)∠EAQ=x

∵點(diǎn)QDE的中點(diǎn)∴QE=QD=DE=1

QE=AE

∴∠AQE=EAQ=x,∴∠MQD=AQE=x

AECD ∴∠M=EAQ=x

在△AQE和△MQD

,AQE≌△MQD(AAS)

AQ=MQ

∵點(diǎn)FAB的中點(diǎn)

QF是△ABM的中位線

∵由題知,∠ABC=90°

∴∠AFQ=90°

PFAB,點(diǎn)FAB的中點(diǎn)

BQ=AQ=MQ

∴∠QBM=M=x

∴∠AQB=QBM+M=2x

由題知∠ACB=45°且ACDE

∴∠QDB=ACB=45°

∵∠QDB=MQD+M=2x

2x=45°即∠AQB=45°

在等腰直角△ABC中,斜邊AC=2,則AB=BC=

BD=BC+CD=

∴四邊形ABDE的面積為:

故答案為:,.

(3) 存在.

如下圖,以AB為邊長(zhǎng),在直線AB的右側(cè)作等邊三角形ABO,在以O為圓心、OA長(zhǎng)為半徑作⊙O.過點(diǎn)OOMMD,交⊙O于點(diǎn)M,點(diǎn)MAC的右上方.

過點(diǎn)MAC的平行線DEAEBC,BC的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)DAE交⊙O于點(diǎn)H

則此時(shí)滿足∠AMB=30°,此時(shí)四邊形ABDE的面積最大.

OFAEF,OMAE相交于點(diǎn)N

AECD,DEAC

∴四邊形ACDE是平行四邊形

AE=CD,DE=AC=2

∴∠EDC=ACB=45°

∴∠AEM=EDC=45°

OMAC

OMDE

∴∠NME=90°

NE=MN,∠MNH=45°

由(2)知,AB=BC=

∴⊙O的半徑是.

連接BH,∵AEBC,∠ABC=90°

∴∠BAH=180°-ABC=90°

∵∠AMB=30°,

∴∠AHB=AMB=30°

OFAH,點(diǎn)O是圓心

根據(jù)勾股定理得

∵∠FNO=MNH=45°

故答案為:當(dāng)時(shí),四邊形面積最大值為.

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1___________,__________,_____________;(用含的式子表示)

2)當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),求的值;

3)當(dāng)點(diǎn)在線段的垂直平分線上時(shí),求的值;

4)是否存在時(shí)刻,使以為直徑的圓與的邊相切?若存在,直接寫出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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