Question

【題目】長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)和點(diǎn)都是從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)在這個(gè)長(zhǎng)方形的邊上順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在這個(gè)長(zhǎng)方形的邊上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，它們的速度都是每秒1個(gè)單位，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒

（1）時(shí)，求線段的長(zhǎng)；

（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接，設(shè)線段和點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線所組成的封閉的圖形面積是，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并注明的取值范圍．

（3）在上一問(wèn)中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得是長(zhǎng)方形面積的一半？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括點(diǎn)），存不存在某一時(shí)刻，使得是直角三角形嗎？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ，；（3）存在，；（4）存在，

【解析】

（1）求出AM，AN，利用勾股定理求解即可．

（2）分兩種情形：當(dāng)0＜t≤4時(shí)，當(dāng)4＜t＜10時(shí)，分別求解即可．

（3）根據(jù)方程解決問(wèn)題即可．

（4）觀察圖象可知，∠MAN，∠ANM不可能是直角．當(dāng)∠AMN=90°時(shí)，根據(jù)AN2=AM2+MN2，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

解：（1）當(dāng)t=3時(shí)，AM=3，AN=3，

在Rt△ANM中，∵∠MAN=90°，

∴；

（2）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，．

當(dāng)4＜t＜10時(shí)，

；

∴

（3）①若點(diǎn)在段，即，

∴，

即，

解得：（舍去）；

②若點(diǎn)在線段，即．

，

即，

解得：；

（4）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MAN，∠ANM不可能是直角．

當(dāng)時(shí)，如圖：過(guò)M作MG⊥AN，

∴

由題意知，，，

∴，，，

，

；

∴滿足條件的t的值為8．