Question

【題目】在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn)B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點(diǎn)G．

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖①），求證：△BOG≌△POE；
（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想： = ，并結(jié)合圖②證明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖③），若∠ACB=α，求 的值．（用含α的式子表示）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，

∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，

∵PF⊥BG，∠PFB=90°，

∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，

∴∠GBO=∠EPO，

在△BOG和△POE中， ，

∴△BOG≌△POE（ASA）

（2）

解：猜想 = ．

證明：如圖2，過(guò)P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，

∴∠MBN=∠NPE，

在△BMN和△PEN中， ，

∴△BMN≌△PEN（ASA），

∴BM=PE．

∵∠BPE= ∠ACB，∠BPN=∠ACB，

∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，

∴∠BFP=∠MFP=90°．

在△BPF和△MPF中， ，

∴△BPF≌△MPF（ASA）．

∴BF=MF．

即BF= BM．

∴BF= PE．

即 ；

（3）

解：如圖3，過(guò)P作PM∥AC交BG于點(diǎn)M，交BO于點(diǎn)N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°．

由（2）同理可得BF= BM，∠MBN=∠EPN，

∴△BMN∽△PEN，

∴ ．

在Rt△BNP中，tanα= ，

∴ =tanα．即 =tanα．

∴ tanα．

【解析】（1）由四邊形ABCD是正方形，P與C重合，易證得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，證得∠GBO=∠EPO，則可利用ASA證得：△BOG≌△POE；（2）首先過(guò)P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易證得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF= BM．則可求得 的值；（3）首先過(guò)P作PM∥AC交BG于點(diǎn)M，交BO于點(diǎn)N，由（2）同理可得：BF= BM，∠MBN=∠EPN，繼而可證得：△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得 ．