Question

邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的兩頂點(diǎn)A、C分別在正方形EFGH的兩邊DE、DG上(如圖1)，現(xiàn)將正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在DF上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中， AB邊交DF于點(diǎn)M，BC邊交DG于點(diǎn)N.
（1）求邊DA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；
（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)(如圖2)，求正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（3）如圖3，設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）；（2）；（3）不變化，證明見(jiàn)解析.

試題分析：（1）將正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在DF上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DA旋轉(zhuǎn)了，從而根據(jù)扇形面積公式可求DA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積.
（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，根據(jù)平行的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)可求正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為.
（3）延長(zhǎng)BA交DE軸于H點(diǎn)，通過(guò)證明和可得結(jié)論.
（1）∵A點(diǎn)第一次落在DF上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，∴DA旋轉(zhuǎn)了.
∴DA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為.
（2）∵M(jìn)N∥AC，∴,.
∴.∴.
又∵，∴.
又∵ ,∴.
∴.∴.
∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 .
(3)不變化，證明如下：
如圖， 延長(zhǎng)BA交DE軸于H點(diǎn)，則
，，
∴.
又∵.∴．
∴．
又∵, ,∴．
∴.∴.
∴.
∴在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過(guò)程中，值無(wú)變化.