【題目】教材呈現(xiàn):下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容.
猜想
如圖,在中,點(diǎn)、分別是與的中點(diǎn).根據(jù)畫出的圖形,可以猜想:
,且.
對此,我們可以用演繹推理給出證明.
定理證明:請根據(jù)教材內(nèi)容,結(jié)合圖①,寫出證明過程.
定理應(yīng)用:
在矩形ABCD中,,AC為矩形ABCD的對角線,點(diǎn)E在邊AB上,且.
(1)如圖②,點(diǎn)F在邊CB上,連結(jié)EF.若,則EF與AC的關(guān)系為______________.
(2)如圖③,將線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度,得到線段,連結(jié),點(diǎn)H為的中點(diǎn),連結(jié)BH.設(shè)BH的長度為.若,則的取值范圍為___________.
【答案】定理證明:見解析;定理應(yīng)用:(1)EF∥AC,;(2)≤m ≤ .
【解析】
定理證明:利用及∠A=∠A可證得△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性質(zhì)即可得證;
定理應(yīng)用:(1)利用及∠B=∠B可證得△BEF∽△BAC,進(jìn)而再利用相似三角形的性質(zhì)即可證得EF與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;
(2)取AC中點(diǎn)F,連接BF、HF,易證得BF=AC=,HF=AE'=,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到m的取值范圍.
定理證明:
∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn),
∴.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴∠ADE=∠ABC,,
∴DE∥BC,且.
定理應(yīng)用:
(1)解:∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵∠B=∠B,
∴△BEF∽△BAC,
∴∠BEF=∠BAC,,
∴EF∥AC,.
(2)解:如圖,取AC中點(diǎn)F,連接BF、HF,
在矩形ABCD中,∠B=90°,BC=AD,
又∵,
∴BC=2,
∴在Rt△ABC中,
∵∠B=90°,點(diǎn)F分別為AC的中點(diǎn),
∴,
∵,,
∴
∵點(diǎn)H、F分別為CE'、AC的中點(diǎn),
∴,
∴當(dāng)點(diǎn)H、F、B不在同一直線上時(shí),<m<,
當(dāng)點(diǎn)H、F、B在同一直線上時(shí),m=或m=,
綜上所述,m的取值范圍是≤m ≤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在坐標(biāo)系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,OA=1.先將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn),每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻轉(zhuǎn)2016次,點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為B1,B2,B3,…,則B2016的坐標(biāo)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+2與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點(diǎn)A(a,3),且與x軸相交于點(diǎn)B.
(1)求該反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)寫出直線y=﹣x+2向下平移2個單位的直線解析式,并求出這條直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,AB⊥x軸,垂足為A.反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D.已知AB=4,BC=.
(1)若OA=4,求k的值;
(2)連接OC,若BD=BC,求OC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(是常數(shù),且)與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左邊),與軸交于點(diǎn).連結(jié),將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到線段,連結(jié).當(dāng)最短時(shí),的值為_________ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象位于軸下方的部分沿軸翻折至其上方后,所得的是新函數(shù)的圖象.若該新函數(shù)圖象與直線有兩個交點(diǎn),則的取值范圍為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象位于軸下方的部分沿軸翻折至其上方后,所得的是新函數(shù)的圖象.若該新函數(shù)圖象與直線有兩個交點(diǎn),則的取值范圍為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),某中學(xué)在體育課中加強(qiáng)了學(xué)生的長跑訓(xùn)練.在一次男子1000米耐力測試中,小明和小亮同時(shí)起跑,同時(shí)到達(dá)終點(diǎn);所跑的路程S(米)與所用的時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象如圖所示:
(1)當(dāng)80≤t≤180時(shí),求小明所跑的路程S(米)與所用的時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求他們第一次相遇的時(shí)間是起跑后的第幾秒?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每到春夏交替時(shí)節(jié),雌性楊樹會以滿天飛絮的方式來傳播下一代,漫天飛舞的楊絮易引發(fā)皮膚病,呼吸道疾病等,給人們造成困擾.為了解市民對治理?xiàng)钚醴椒ǖ馁澩闆r,某課題小組隨機(jī)調(diào)查了部分市民(問卷調(diào)查表如圖所示),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的市民共有_________人;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,扇形的圓心角度數(shù)是__________;
(3)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)若該市約有90萬人,請估計(jì)贊同“選育無絮楊品種,并推廣種植”的人數(shù).
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