Question

【題目】（問題實(shí)驗(yàn)）如圖①，在地面上有兩根等長立柱，之間懸掛一根近似成拋物線的繩子．

（1）求繩子最低點(diǎn)到地面的距離；

（2）如圖②，因?qū)嶋H需要，需用一根立柱撐起繩子．

①若在離為4米的位置處用立柱撐起，使立柱左側(cè)的拋物線的最低點(diǎn)距為1米，離地面1.8米，求的長；

②將立柱來回移動(dòng)，移動(dòng)過程中，在一定范圍內(nèi)，總保持立柱左側(cè)拋物線的形狀不變，其函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)拋物線最低點(diǎn)到地面距離為0.5米時(shí)，求的值．

（問題抽象）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像記為，函數(shù)的圖像記為，其中是常數(shù)，圖像、合起來得到的圖像記為．

設(shè)在上的最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】【問題實(shí)驗(yàn)】（1）米；（2）①米；②；【問題抽象】或．

【解析】

【問題實(shí)驗(yàn)】

（1）先把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而可得答案；

（2）①先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，由題意可設(shè)，然后把點(diǎn)A坐標(biāo)代入即可求出a的值，再求當(dāng)x=4時(shí)對(duì)應(yīng)的y的值即為所求；

②根據(jù)題意可確定：該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后把該點(diǎn)代入拋物線的解析式可得關(guān)于m的方程，解方程并結(jié)合拋物線對(duì)稱軸的位置即可求出結(jié)果；

【問題抽象】

當(dāng)時(shí)，對(duì)，確定其對(duì)稱軸為直線后，由于，可分與兩種情況，根據(jù)拋物線的性質(zhì)確定其最小值y0，然后由即可得到關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可求出結(jié)果；當(dāng)x＜0時(shí)，對(duì)于，確定其對(duì)稱軸是直線x=m后，仿照上面的思路求解即可．

解：【問題實(shí)驗(yàn)】（1），

∴繩子最低點(diǎn)到地面的距離是米；

（2）對(duì)，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴A（0，3），

①由題意可知：MN左側(cè)的拋物線的頂點(diǎn)為（3，1.8），于是設(shè)拋物線的解析式為，

把代入，得：，解得：，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

∴米；

②由于的對(duì)稱軸是直線x=m，所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

把代入中，，

解得：，，

由于拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴；

【問題抽象】

由題意知：拋物線M1、M2均過定點(diǎn)（0，3），當(dāng)m≥0時(shí)，M1的最低點(diǎn)為（0，3），此時(shí)，拋物線M的最低點(diǎn)在M2上．當(dāng)時(shí)，對(duì)M2：，其對(duì)稱軸是直線．

①當(dāng)，即時(shí)，

∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=2時(shí)，y最小，此時(shí)，

∵，∴，解得：；

②當(dāng)，即時(shí)，

∵x的范圍是，∴當(dāng)x=2m時(shí)y最小，此時(shí)，

∵，∴，解得：，

∵，∴此種情況的m的值不存在；

當(dāng)m＜0時(shí)，M2的最低點(diǎn)為（0，3），此時(shí)，拋物線M的最低點(diǎn)在M1上，當(dāng)x＜0時(shí)，對(duì)于M1：，其對(duì)稱軸是直線x=m．

③當(dāng)時(shí)，

∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，y最小，此時(shí)，

∵，∴，解得：，

∵，所以m的范圍是；

④當(dāng)時(shí)，

∵x的范圍是，∴當(dāng)x=m時(shí)，y最小，此時(shí)，

∵，∴，解得：，

∵，∴；

綜上所述，m的取值范圍是：或．