Question

（2012•鞍山一模）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，連接AE并延長交直線DC于F，且CE=CF．
（1）如圖1，求證：AF是∠BAD的平分線；
（2）如圖2，若∠ABC=90°，點G是線段EF上一點，連接DG、BD、CG，若∠BDG=45°，求證：CG=

1

2

EF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形得出，AB∥DF，BC∥AD，得出∠2=∠F，∠1=∠3，進而求出∠1=∠2即可；
（2）根據(jù)∠ABC=90°，G是EF的中點可直接求得．

解答：證明：（1）∵在平行四邊形ABCD中，
∴AB∥DF，BC∥AD，
∴∠2=∠F，∠1=∠3，
∵EC=FC，
∴∠3=∠F，
∴∠1=∠2，
∴AF是∠BAD的平分線；

（2）連接BG，
∵在平行四邊形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，
∴△CEF為RT△，
∴∠CEF=45°
∴∠BAE=45°，
∴∠EAB=45°，
∵∠BDG=45°，
∴ABGD四點共圓 （同弦BG）
又四邊形ABCD是矩形
∴ABCD四點共圓
即ABGCD五點共圓
∴∠ECG=45°，
∵△CEF為RT△，∠ECG=45°，
∴CG是RT△CEF斜邊EF上的中線，
∴CG=

1

2

EF．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，四點共圓的有關性質等知識點，應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．