Question

（1）若方程x²+2px-q=0（p，q是實(shí)數(shù)）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求證：p+q＜

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；
（2）試寫(xiě)出上述命題的逆命題；
（3）判斷（2）中的逆命題是否正確．若正確請(qǐng)加以證明，若不正確，請(qǐng)舉一反例說(shuō)明．

Answer 1

分析：（1）方程x²+2px-q=0（p，q是實(shí)數(shù)）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，把它理解為y=x²+2px-q的函數(shù)值恒大于0，則當(dāng)x=-

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時(shí)，y=x²+2px-q＞0，即

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-p-q＞0，即可證明；
（2）交換題設(shè)與結(jié)論，寫(xiě)出逆命題；
（3）通過(guò)設(shè)p=q=0，說(shuō)明（2）中的逆命題不正確．

解答：（1）證明：∵方程x²+2px-q=0（p，q是實(shí)數(shù)）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴y=x²+2px-q的函數(shù)值恒大于0，
所以當(dāng)x=-

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時(shí)，y=x²+2px-q＞0，即

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-p-q＞0，
所以p+q＜

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．
（2）（1）的逆命題為：若p+q＜

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（p，q是實(shí)數(shù)），求證：方程x²+2px-q=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
（3）（2）中的逆命題不正確．
如：當(dāng)p=q=0，滿足p+q＜

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，但原方程為x²=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以（2）中的逆命題不正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）與二次函數(shù)的關(guān)系，也考查了逆命題與原命題的關(guān)系和通過(guò)舉反例說(shuō)明問(wèn)題的方法．