Question

【題目】已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運動．

運動一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q，當點Q與點D重合時暫停運動；

運動二：在運動一的基礎(chǔ)上，如圖3，RT△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點Q，CB與DE交于點P，此時點Q在DF上勻速運動，速度為cm/s，當QC⊥DF時暫停旋轉(zhuǎn)；

運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時為止．

設(shè)運動時間為t（s），中間的暫停不計時，

解答下列問題

（1）在RT△ABC從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時　 　s；

（2）在整個運動過程中，設(shè)RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）見解析；（3）存在，t=3.5或6﹣時，點Q正好在線段AB的中垂線上，理由見解析

【解析】

(1)分段分別討論分析；

(2) 動一，Rt△ABC與Rt△DEF的重疊部分為直角△QCE的面積，表示出即可；運動二，連接CD，可得∠E=∠CDQ，∠ECP=∠ECQ，EC=DC，所以△ECP≌△DCQ，RT△ABC與RT△DEF的重疊部分不變：y=8（4＜t＜6）；運動三，四邊形QDPC為矩形，CF=4-（t-6）=10-t，EC=8-CF=t-2，則可求得S矩形QDPC的值.

(3) Q在線段AB的中垂線上，連接BQ，可得AQ=QB，所以，AC-CQ= ，又AC=16cm，BC=12cm，得，CQ=3.5cm，又由∠DEF=45°，所以，EC=3.5cm，解答出即可．

（1）根據(jù)題意得，

運動一：

∵△DEF是等腰三角形，∠ACB=90°，EF=8cm，

∴EC=4cm，

∴運動一所用時間為：4÷1=4（秒），

運動二：

∵當QC⊥DF時暫停旋轉(zhuǎn)，

∵CD=CF，

∴DQ=QF=2cm

∴運動二所用時間為：2=2（秒），

運動三：

∵CF=4cm，

∴運動三所用的時間為：4÷1=4（秒），

∴整個過程共耗時4+2+4=10（秒）；

故答案為：10；

（2）運動一：如圖2，

設(shè)EC為tcm，則CQ為tcm，

∴S△ECQ=×t×t，

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=t2（0≤t≤4），

運動二：如圖3，

連接CD，在△ECP和△DCQ中，

∵

∴△ECP≌△DCQ（ASA），

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=8（4＜t＜6），

運動三：如圖4，

四邊形QDPC為矩形，

∴CF=4﹣（t﹣6）=10﹣t，

EC=8﹣CF=t﹣2，

∴S矩形QDPC=（t﹣2）×（10﹣t），

=t2+6t﹣10；

S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=t2+6t﹣10（6≤t≤10）；

（3）存在點Q，理由如下：

如圖5，運動一：

∵點Q在線段AB的中垂線上，連接BQ，

∴AQ=QB，

∴AC﹣CQ=，

又∵AC=16cm，BC=12cm，

解得，CQ=3.5cm，

∵∠DEF=45°，

∴EC=3.5cm，

此時，t為：3.5÷1=3.5秒．

如圖6，運動二：

同理：CQ=3.5，

過點C作CM⊥DF交DF于點M，CM=2，

在Rt△QCM中，QM==，

∴DQ=2﹣，

∴t=（2﹣）÷+4=6﹣；

運動三時，CQ最大為2＜3.5，

所以無解．

綜上，t=3.5或6﹣時，點Q正好在線段AB的中垂線上．