如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（
3
，0），B（-
3
，0），以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B，C，與y軸相交于點(diǎn)D，E．
（1）若拋物線y=
1
3
x2+bx+c經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，求拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)B是否在該拋物線上；
（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點(diǎn)P，使得△PBD的周長最��；
（3）設(shè)Q為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（1）∵OA=
3
，AB=AC=2
3
，
∴B（-
3
，0），C（3
3
，0），連接AD，
在Rt△AOD中，AD=2
3
，OA=
3
，
∴OD=
AD2-OA2
=3，
∴D的坐標(biāo)為（0，-3），（3分）
又∵D，C兩點(diǎn)在拋物線上，
∴
c=-3
1
3
•(3
3
)2+3
3
b+c=0
，
解得
b=-
2
3
3
c=-3
，
∴拋物線的解析式為：y=
1
3
x2-
2
3
3
x-3，（5分）
當(dāng)x=-
3
時，y=0，
∴點(diǎn)B（-
3
，0）在拋物線上，（6分）

（2）∵y=
1
3
x2-
2
3
3
x-3，
=
1
3
（x-
3
）2-4，
∴拋物線y=
1
3
x2-
2
3
3
x-3的對稱軸方程為x=
3
，（7分）
在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P，使△PBD的周長最�。�
∵BD的長為定值∴要使△PBD周長最小只需PB+PD最�。�
連接DC，則DC與對稱軸的交點(diǎn)即為使△PBD周長最小的點(diǎn)．
設(shè)直線DC的解析式為y=mx+n．
由
n=-3
3
3
m+n=0
，
得
m=
3
3
n=-3
，
∴直線DC的解析式為y=
3
3
x-3．
由
y=
3
3
x-3
x=
3
，
得
x=
3
y=-2
，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
3
，-2)．（9分）

（3）存在，設(shè)Q（
3
，t）為拋物線對稱軸x=
3
上一點(diǎn)，
M在拋物線上要使四邊形BCQM為平行四邊形，
則BC∥QM且BC=QM，點(diǎn)M在對稱軸的左側(cè)．
于是，過點(diǎn)Q作直線L∥BC與拋物線交于點(diǎn)M（xm，t），
由BC=QM得QM=4
3
，
從而xm=-3
3
，t=12，
另外：M在拋物線的頂點(diǎn)上也可以構(gòu)造平行四邊形！
故在拋物線上存在點(diǎn)M（-3
3
，12）或（5
3
，12）或（
3
，-4），使得四邊形BCQM為平行四邊形．（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B，連接OA，拋物線y=x2從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時停止移動．
（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖，連接AC，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠ACD+∠ACP=45°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，
①點(diǎn)E在運(yùn)動過程中四邊形OEAF的面積是否發(fā)生變化，并說明理由；
②當(dāng)EF分四邊形OEAF的面積為1：2兩部分時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCO（O為原點(diǎn)），點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），將△BCD沿BD折疊（D點(diǎn)在OC上），使C點(diǎn)落在OA邊的E點(diǎn)上，并將△BAE沿BE折疊，恰好使點(diǎn)A落在BD邊的F點(diǎn)上．
（1）求BC的長，并求折痕BD所在直線的函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G，F(xiàn)G的中點(diǎn)為H，若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B、H、D三點(diǎn)，求拋物線解析式；
（3）點(diǎn)P是矩形內(nèi)部的點(diǎn)，且點(diǎn)P在（2）中的拋物線上運(yùn)動（不含B、D點(diǎn)），過點(diǎn)P作PN⊥BC，分別交BC和BD于點(diǎn)N、M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使S△BNM=S△BPM？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如如在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2-4x+中的頂點(diǎn)是C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊）．
（1）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB滿足5＜xB＜c，求中的取值范圍；
（2）若tan∠ACB=
4
十
，求中的值；
（十）當(dāng)中=c時，點(diǎn)D，E同時從點(diǎn)B出發(fā)，分別向左、向右在拋物線它移動，點(diǎn)D，E在x軸它的正投影分別為M，N，設(shè)BM=m（m＜cB），BN=n，當(dāng)m，n滿足怎樣的等量關(guān)系時，△cDE的內(nèi)心在x軸它？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=2x2+bx-2經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）．
（1）求b的值；
（2）設(shè)P為此拋物線的頂點(diǎn)，B（a，0）（a≠1）為拋物線上的一點(diǎn)，Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，這樣的Q點(diǎn)有幾個，并求出PQ的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知：拋物線y=x2+（b-1）x+c經(jīng)過點(diǎn)P（-1，-2b）．
（1）求b+c的值；
（2）若b=3，求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若b＞3，過點(diǎn)P作直線PA⊥y軸，交y軸于點(diǎn)A，交拋物線于另一點(diǎn)B，且BP=2PA，求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式．（提示：請畫示意圖思考）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與拋物線y=ax2+bx交于點(diǎn)C、D．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）拋物線在x軸上方部分是否存在一點(diǎn)P，使△POA的面積比△POB的面積大4？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．
（4）將題中的拋物線y=ax2+bx沿x軸平移，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時，請直接寫出平移的方向和距離．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某校八年級（1）班共有學(xué)生50人，據(jù)統(tǒng)計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元．經(jīng)測算和市場調(diào)查，若該班學(xué)生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費(fèi)用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費(fèi)用，另一部分是其它費(fèi)用780元，其中，純凈水的銷售價x（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關(guān)系．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時，請你根據(jù)提供的信息分析一下：該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水與個人買飲料，哪一種花錢更少？
（3）當(dāng)a至少為多少時，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水一定合算從計算結(jié)果看，你有何感想？（不超過30字）

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