【題目】將一個直角三角形紙片,放置在平面直角坐標系中,點,點,點
(I)過邊上的動點 (點不與點,重合)作交于點,沿著折疊該紙片,點落在射線上的點處.
①如圖,當為中點時,求點的坐標;
②連接,當為直角三角形時,求點坐標:
(Ⅱ)是邊上的動點(點不與點重合),將沿所在的直線折疊,得到,連接,當取得最小值時,求點坐標(直接寫出結(jié)果即可).
【答案】(I)①;②點坐標為或;(II)
【解析】
(I)①過點E做EH⊥OA ,交OA于點H,由D為OB中點結(jié)合DE∥OA,可得出DE為△BOA的中位線,再根據(jù)點A、B的坐標即可得出點E的坐標;
②根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合角的計算可得出∠AEF=60°≠90°,分∠AFE=90°和∠EAF=90°兩種情況考慮,利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出點E的坐標;
(II)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,找出當點A′在y軸上時,BA′取最小值,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出直線OP的解析式,再根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,聯(lián)立兩直線解析式成方程組,解之即可得出點P的坐標.
(I)過點E做EH⊥OA ,交OA于點H,
①∵, ,
∴.
∵為中點,
∴D點的坐標為,
∴為的中位線,
∴點為線段的中點,
又∵,
∴EH為的中位線,
∴點H為線段OA的中點,
∴點H的坐標為,
∴點的坐標為.
②∵點,點,
∴,OB=3
∴,
∴∠B=30°,
由折疊可知:.
∴,
∴.
∵是直角三角形,
∴或
(i)當時,如圖1所示
.
在中,,
∴,,
∵,
∴,.
在中, ,.
∴,
∵,
∴,.
∵.
∴點的坐標為;
(ii)當時,如圖2所示.
∵,
∴,
∴.
在中, ,,
∴,
∵,
∴,.
在中, , ,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴點的坐標為.
綜上所述:當為直角三角形時,點坐標為或.
(II)由折疊可知:,
∴,,
又∵,
∴當點在軸上時,取最小值,如圖3所示.
∵
∴
∴直線的解析式為
設直線的解析式為,
將、代入中,
,解得:,
∴直線的解忻式為.
聯(lián)立直線、的解析式成方程組,
,解得:,
∴.當取得最小值時,點坐標為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖在平面直角坐標系中,將△ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置,點B、O分別落在點B1、C1處,點B1在x軸上,再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置,點C2在x軸上,將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置,點A2在x軸上,依次進行下去…若點A(,0),B(0,2),則點B2018的坐標為( 。
A. (6048,0)B. (6054,0)C. (6048,2)D. (6054,2)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:在正方形ABCD中,點E在 BC邊上,連接 DE,以DE為直角邊作等腰直角三角形EDF(∠DEF=90°),過點C作 DE的垂線,垂足為G,交AB于點H,連接 FH.
(1)如圖 1,求證:四邊形FECH為平行四邊形
(2)如圖 2,連接 DH和 AF,點 E 為 BC 中點,在不添加任何輔助線與字母的情況下,請直接寫出與平行四邊形FECH面積相等的所有三角形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校開展課外活動,分音樂、體育、美術(shù)、制作四個活動項目,隨機抽取部分學生對其選擇參加的活動項目進行調(diào)查統(tǒng)計,制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)上述統(tǒng)計圖提供的信息,完成下列問題:
(1)這次抽查的樣本容量是 ;
(2)請補全上述條形統(tǒng)計圖,并求出扇形圖中“美術(shù)”所占的圓心角度數(shù);
(3)若該校有2000名學生,請你用此樣本估計參加“藝術(shù)”類活動項目(“藝術(shù)”類活動包括“音樂”和“美術(shù)”兩個項目)的學生人數(shù)約為多少人.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=-2,與x軸的一個交點在(-3,0)和(-4,0)之間,其部分圖象如圖所示.則下列結(jié)論:①4a-b=0;②c<0;③-3a+c>0;④4a-2b>at2+bt(t為實數(shù));⑤點,,是該拋物線上的點,則y1<y2<y3.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
A.4B.3C.2D.1
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【題目】將一個直角三角形紙片,放置在平面直角坐標系中,點,點,點
(I)過邊上的動點 (點不與點,重合)作交于點,沿著折疊該紙片,點落在射線上的點處.
①如圖,當為中點時,求點的坐標;
②連接,當為直角三角形時,求點坐標:
(Ⅱ)是邊上的動點(點不與點重合),將沿所在的直線折疊,得到,連接,當取得最小值時,求點坐標(直接寫出結(jié)果即可).
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【題目】如圖,甲、乙只捕撈船同時從A港出海捕魚,甲船以每小時15 km的速度沿北偏西60°方向前進,乙船以每小時15 km的速度沿東北方向前進.甲船航行2 h到達C處,此時甲船發(fā)現(xiàn)漁具丟在了乙船上,于是甲船快速(勻速)沿北偏東75°的方向追趕乙船,結(jié)果兩船在B處相遇.問:
(1)甲船從C處出發(fā)追趕上乙船用了多少時間?
(2)甲船追趕乙船的速度是每小時多少千米?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=(x﹣m)2的頂點A在x軸正半軸上,交y軸于B點,S△OAB=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線上對稱軸右側(cè)一點,過P的直線l與拋物線有且只有一個公共點,l交拋物線對稱軸于C點,連PB交對稱軸于D點,若∠BAO=∠PCD,求證:AC=2AD;
(3)如圖3,以A為頂點作直角,直角邊分別與拋物線交于M、N兩點,當直角∠MAN繞A點旋轉(zhuǎn)時,求證:MN始終經(jīng)過一個定點,并求出該定點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于題目:在平面直角坐標系中,直線分別與軸、軸交于兩點,過點且平行軸的直線與過點且平行軸的直線相交于點,若拋物線與線段有唯一公共點,求的取值范圍.甲的計算結(jié)果是;乙的計算結(jié)果是,則( )
A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確
C.甲與乙的結(jié)果合在一起正確D.甲與乙的結(jié)果合在一起也不正確
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