Question

【題目】定義： 數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”．
理解：
（1）如圖1，已知A、B是⊙O上兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn)C，使△ABC為“智慧三角形”（畫出點(diǎn)C的位置，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF= CD，試判斷△AEF是否為“智慧三角形”，并說(shuō)明理由； 運(yùn)用：

（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，點(diǎn)Q是直線y=3上的一點(diǎn)，若在⊙O上存在一點(diǎn)P，使得△OPQ為“智慧三角形”，當(dāng)其面積取得最小值時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1所示

（2）解：△AEF是否為“智慧三角形”，

理由如下：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，

∵E是DC的中點(diǎn)，

∴DE=CE=2a，

∵BC：FC=4：1，

∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，

在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，

在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，

在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，

∴AE2+EF2=AF2，

∴△AEF是直角三角形，

∵斜邊AF上的中線等于AF的一半，

∴△AEF為“智慧三角形”；

（3）解：如圖3所示：

由“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，

根據(jù)題意可得一條直角邊為1，當(dāng)斜邊最短時(shí)，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，

由垂線段最短可得斜邊最短為3，

由勾股定理可得PQ= =2 ，

PM=1×2 ÷3= ，

由勾股定理可求得OM= = ，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣ ， ），（ ， ）．

【解析】（1）連結(jié)AO并且延長(zhǎng)交圓于C1 ， 連結(jié)BO并且延長(zhǎng)交圓于C2 ， 即可求解；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，表示出DF=CF以及EC、BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2 ， 再根據(jù)勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得△AEF為“智慧三角形”；（3）根據(jù)“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1，當(dāng)斜邊最短時(shí)，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而求解．