【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)AB、C,已知A-1,0),B3,0),C0-3.

1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)若P為線段BC上一點(diǎn),過點(diǎn)P軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)D,當(dāng)△BCD面積最大時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)若Mm,0)是軸上一個動點(diǎn),請求出CM+MB的最小值以及此時點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】1;(2P,),面積最大為;(3CM+MB最小值為M,0

【解析】

1)利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式;(2)由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式,設(shè)Paa-3),得出PD的長,列出SBDC的表達(dá)式,化簡成頂點(diǎn)式,即可求解;

3)取G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),過M點(diǎn)作MB′BG,用B′M代替BM,即可得出最小值的情況,再將直線BG、直線B′C的解析式求出,求得M點(diǎn)坐標(biāo)和∠CGB的度數(shù),再根據(jù)∠CGB的度數(shù)利用三角函數(shù)得出最小值B′C的值.

解:(1)∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、CA-1,0),B3,0),C0,-3),

代入表達(dá)式,解得a= 1,b=-2,c=-3,

∴故該拋物線解析式為:.

2)令
x1=-1,x2=3,
B3,0),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′,將B、C代入得:k=,1,b′=-3,

∴直線BC的解析式為y=x-3

設(shè)Pa,a-3),則Da,a2-2a-3),

PD=a-3-a2-2a-3= -a2+3a

SBDC=SPDC+SPDB

=PD×3

=,

∴當(dāng)a=時,△BDC的面積最大,且為為,此時P,);

3)如圖,取G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),連接BG,

M點(diǎn)作MB′BG,∴B′MBM

當(dāng)C、M、B′在同一條直線上時,CM+MB最小.

可求得直線BG解析式為:,

B′CBG

故直線B′C解析式為為,

y=0,則x=,

B′Cx軸交點(diǎn)為(,0

OG=,OB=3,

∴∠CGB=60°,

B′C= CGsinCGB==

綜上所述:CM+MB最小值為,此時M0.

練習(xí)冊系列答案
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