Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+ 的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），與y軸相交于點C．點P為第一象限的拋物線上的一個動點，過點P分別做BC和x軸的垂線，交BC于點E和F，交x軸于點M和N．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）求線段PE最大值，并求出線段PE最大時點P的坐標；

（3）若S△PMN＝3S△PEF時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最大值為，點.（3）

【解析】

（1）根據(jù)點A，B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，由OB，OC的長可得出∠ABC=30°，結(jié)合PN⊥x軸，PE⊥BC可得出PE=PF，由點B，C的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，設點P的坐標為（x，），則點F的坐標為（x，-），進而可得出PE=-x2+x，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；

（3）由∠PEF=∠PNM，∠P=∠P可得出△PEF∽△PNM，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合S△PMN=3S△PEF可得出PN=PE，再結(jié)合（2）可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出x的值，將其代入點P的坐標中即可得出結(jié)論．

（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+，得：

，解得：，

∴二次函數(shù)的解析式為．

（2）∵當時，，

∴，

∴，

∴

∵軸，

∴，

又∵，

∴，

∴，

設，直線的解析式為，

，

∴，

∴

∴

又，

∴當x=時，PE取得最大值，的最大值為，此時點P的坐標為.

（3）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

由（2）得

解得，（舍去），

∴