Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當D在AB中點時，判斷四邊形BECD的形狀，并說明理由；
（3）若D為AB中點，則當∠A=時，四邊形BECD是正方形？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD；

（2）解：四邊形BECD是菱形，

理由是：∵D為AB中點，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D為AB中點，

∴CD=BD，

∴四邊形BECD是菱形；

（3）45°
【解析】（3）當∠A=45°時，∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

由（2）可知，四邊形BECD是菱形，

∴∠ABC=∠CBE=45°，

∴∠DBE=90°，

∴四邊形BECD是正方形．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直角三角形斜邊上的中線的相關知識，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及對正方形的判定方法的理解，了解先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角．