Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點（﹣1，4），與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點，其中點A在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．點M是直線AB上方的拋物線上一動點，過M作MP丄x軸，垂足為點P，交直線AB于點N，設點M的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當m為何值時，線段MN取最大值？并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣4x+1；（2）當m=﹣時，MN有最大值是．

【解析】

試題分析：（1）首先求得A和B的坐標，然后利用待定系數法求得拋物線的解析式；

（2）當x=m是，M和N的縱坐標即可利用m表示出來，然后根據二次函數的性質求得MN的最大值．

解：（1）在y=﹣x+1中，令x=0，解得y=1，則A的坐標是（0，1）．

在y=﹣x+1中，令x=﹣3，則y=3+1=4，則B的坐標是（﹣3，4）．

根據題意得：，

解得：．

則拋物線的解析式是y=﹣x2﹣4x+1；

（2）當x=m是，M的縱坐標是﹣m2﹣4m+1，N的縱坐標是﹣m+1，

則MN=（﹣m2﹣4m+1）﹣（﹣m+1）=﹣m2﹣3m=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+．

則當m=﹣時，MN有最大值是．