【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C(0,3),作直線BC.動點P在x軸上運(yùn)動,過點P作PM⊥x軸,交拋物線于點M,交直線BC于點N,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點P在線段OB上運(yùn)動時,求線段MN的最大值;
(3)是否存在點P,使得以點C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)線段MN最大值為;(3)存在點P,使得以點C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形,此時m的值為或.
【解析】
(1)根據(jù)點A、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)由二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可找出點B的坐標(biāo),根據(jù)點B、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式,設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,0)(0≤m≤3),點M的坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+3),點N的坐標(biāo)為(m,﹣m+3),由此即可得出MN=﹣m2+3m,利用配方法即可求出線段MN的最大值;
(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出MN=OC,分m<0或m>3以及0≤m≤3兩種情況,即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論.
(1)將A(﹣1,0)、C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c中,
,解得:,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.
(2)當(dāng)y=﹣x2+2x+3=0時,x1=﹣1,x2=3,
∴點B的坐標(biāo)為(3,0).
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),
將B(3,0)、C(0,3)代入y=kx+b中,
,,解得:,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.
設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,0)(0≤m≤3),點M的坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+3),
點N的坐標(biāo)為(m,﹣m+3),
∴MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,
∴當(dāng)m=,線段MN取最大值,最大值為.
(3)∵MN∥CO,
∴當(dāng)MN=CO時,以點C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形.
∵點O(0,0)、C(0,3),
∴OC=3,
∴|﹣m2+3m|=3,
當(dāng)m<0或m>3時,有m2﹣3m=3,
解得:m1=,m2=;
當(dāng)0≤m≤3時,有﹣m2+3m=3,
∵△=(﹣3)2﹣4×1×3=﹣3<0,
∴此時方程無解.
綜上所述:存在點P,使得以點C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形,此時m的值為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實踐
問題情境
數(shù)學(xué)活動課上,老師讓同學(xué)們以“三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動,和是兩個全等的直角三角形紙片,其中,,.
解決問題
(1)如圖①,智慧小組將繞點順時針旋轉(zhuǎn),發(fā)現(xiàn)當(dāng)點恰好落在邊上時,,請你幫他們證明這個結(jié)論;
(2)縝密小組在智慧小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究,連接,當(dāng)C繞點繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時,他們提出,請你幫他們驗證這一結(jié)論是否正確,并說明理由;
探索發(fā)現(xiàn)
(3)如圖③,勤奮小組在前兩個小組的啟發(fā)下,繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)三點共線時,求的長;
(4)在圖①的基礎(chǔ)上,寫出一個邊長比為的三角形(可添加字母).
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【題目】某地的一座人行天橋如圖所示,天橋高為6米,坡面BC的坡度為1:1,為了方便行人推車過天橋,有關(guān)部門決定降低坡度,使新坡面的坡度為1:.
(1)求新坡面的坡角∠CAB的度數(shù);
(2)原天橋底部正前方8米處(PB的長)的文化墻PM是否需要拆除?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】河南省開封市鐵塔始建于公元1049年(北宋皇祐元年),是國家重點保護(hù)文物之一,在900多年中,歷經(jīng)了數(shù)次地震、大風(fēng)、水患而巍然屹立,素有“天下第一塔”之稱.如圖,小明在鐵塔一側(cè)的水平面上一個臺階的底部A處測得塔頂P的仰角為45°,走到臺階頂部B處,又測得塔頂P的仰角為38.7°,已知臺階的總高度BC為3米,總長度AC為10米,試求鐵塔的高度.(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin38.7°≈0.63,cos38.7°≈0.78,tan38.7°≈0.80)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)泰山文化,某校舉辦了“泰山詩文大賽”活動,從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的比賽成績,根據(jù)成績(成績都高于50分),繪制了如下的統(tǒng)計圖表(不完整):
組別 | 分?jǐn)?shù) | 人數(shù) |
第1組 | 90<x≤100 | 8 |
第2組 | 80<x≤90 | a |
第3組 | 70<x≤80 | 10 |
第4組 | 60<x≤70 | b |
第5組 | 50<x≤60 | 3 |
請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)求出a,b的值;
(2)計算扇形統(tǒng)計圖中“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù);
(3)若該校共有1800名學(xué)生,那么成績高于80分的共有多少人?
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【題目】在抗擊“新冠肺炎”戰(zhàn)役中,某公司接到轉(zhuǎn)產(chǎn)生產(chǎn)1440萬個醫(yī)用防護(hù)口罩補(bǔ)充防疫一線需要的任務(wù),臨時改造了甲、乙兩條流水生產(chǎn)線.試產(chǎn)時甲生產(chǎn)線每天的產(chǎn)能(每天的生產(chǎn)的數(shù)量)是乙生產(chǎn)線的2倍,各生產(chǎn)80萬個,甲比乙少用了2天.
(1)求甲、乙兩條生產(chǎn)線每天的產(chǎn)能各是多少?
(2)若甲、乙兩條生產(chǎn)線每天的運(yùn)行成本分別是1.2萬元和0.5萬元,要使完成這批任務(wù)總運(yùn)行成本不超過40萬元,則至少應(yīng)安排乙生產(chǎn)線生產(chǎn)多少天?
(3)正式開工滿負(fù)荷生產(chǎn)3天后,通過技術(shù)革新,甲生產(chǎn)線的日產(chǎn)能提高了50%,乙生產(chǎn)線的日產(chǎn)能翻了一番.再滿負(fù)荷生產(chǎn)13天能否完成任務(wù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像的一個交點坐標(biāo)為(1,2),另一個交點是該二次函數(shù)圖像的頂點
(1)求k,a,c的值;
(2)過點A(0,m)(0<m<4)且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像相交于B,C兩點,點O為坐標(biāo)原點,記W=OA2+BC2,求W關(guān)于m的函數(shù)解析式,并求W的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形OABC的對角線交于點D.雙曲線經(jīng)過C,D 兩點,雙曲線經(jīng)過點B,則平行四邊形OABC的面積為( )
A.4B.6C.7D.8
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【題目】“六一”期間,小張購進(jìn)100只兩種型號的文具進(jìn)行銷售,其進(jìn)價和售價之間的關(guān)系如下表:
(1)小張如何進(jìn)貨,使進(jìn)貨款恰好為1300元?
(2)要使銷售文具所獲利潤最大,且所獲利潤不超過進(jìn)貨價格的40%,請你幫小張設(shè)計一個進(jìn)貨方案,并求出其所獲利潤的最大值.
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