Question

【題目】【閱讀學(xué)習(xí)】 劉老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：已知α為銳角，且tanα=，求sin2α的值．

小娟是這樣解決的：

如圖1，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα==．

易得∠BOC=2α．設(shè)BC=x，則AC=3x，則AB=x．作CD⊥AB于D，求出CD= （用含x的式子表示），可求得sin2α== ．

【問(wèn)題解決】

已知，如圖2，點(diǎn)M、N、P為圓O上的三點(diǎn)，且∠P=β，tanβ =，求sin2β的值．

Answer 1

【答案】CD=；sin2α=；．

【解析】試題分析：（1）、根據(jù)題意的方法得出CD和sin2α的值；（2）、連接NO，并延長(zhǎng)交⊙O于Q,連接MQ，MO，作MH⊥NO于H，設(shè)MN=k，則MQ=2k，NQ=k，OM=k，根據(jù)等面積法求出MH的長(zhǎng)度，然后根據(jù)Rt△MHO計(jì)算三角函數(shù)的值.

試題解析：（1）、． sin2α==．

（2）、如圖，連接NO，并延長(zhǎng)交⊙O于Q,連接MQ，MO，作MH⊥NO于H．

在⊙O中，∠NMQ=90°．

∵∠Q=∠P=β，OM=ON，

∴ ∠MON=2∠Q=2β

∵ tanβ=，

∴設(shè)MN=k，則MQ=2k，

∴NQ=．

∴OM=NQ=．

∵，

∴．

∴ MH=．

在Rt△MHO中，sin2β=sin∠MON =．