Question

【題目】（14分）定義：底與腰的比是的等腰三角形叫做黃金等腰三角形．

如圖，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．

（1）=AA1A C；

（2）探究：△ABC是否為黃金等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；（提示：此處不妨設(shè)AC=1）

（3）應(yīng)用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此規(guī)律操作下去，用含a，n的代數(shù)式表示An﹣1An．（n為大于1的整數(shù)，直接回答，不必說(shuō)明理由）

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）△ABC是黃金等腰三角形；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由角平分線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，得到△ABC∽△AA1B，從而有，求出即可；

（2）設(shè)AC=1，則AB2=1﹣AB，求出AB的值，進(jìn)而得出=，即可得出結(jié)論；

（3）利用（2）中所求進(jìn)而得出AA1，A1A2的長(zhǎng)，進(jìn)而得出其長(zhǎng)度變化規(guī)律求出即可．

試題解析：（1）∵AC=BC，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA1平分∠ABC，∴∠ABA1=∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AA1B，∴，即=AA1A C；

（2）△ABC是黃金等腰三角形，理由：

由（1）知，=AA1A C，設(shè)AC=1，∴=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36°，∴A1B=A1C，∴AB=A1C，∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，∴=1﹣AB，設(shè)AB=x，即，∴，解得：，（不合題意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴=，∴△ABC是黃金等腰三角形；

（3）由（2）得；當(dāng)AC=a，則AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB==，

同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1

===；

故An﹣1An=．