【題目】如圖1,四邊形ABCD是正方形,點EAB邊的中點,以AE為邊作正方形AEFG,連接DE,BG

1)發(fā)現(xiàn)

①線段DEBG之間的數(shù)量關(guān)系是   ;

②直線DEBG之間的位置關(guān)系是   

2)探究

如圖2,將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

3)應(yīng)用

如圖3,將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一周,記直線DEBG的交點為P,若AB=4,請直接寫出點PCD所在直線距離的最大值和最小值.

【答案】1)發(fā)現(xiàn):①DE=BG;②DEBG;(2)探究:(1)中的結(jié)論仍然成立,理由詳見解析;(3)應(yīng)用:點PCD所在直線距離的最大值是2+2,最小值是3

【解析】

(1)證明△AED≌△AGB可得出兩個結(jié)論;

(2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AE=AG,AD=AB,∠EAG=∠DAB=90°,求出∠EAD=∠GAB,根據(jù)SAS推出△EAD≌△GAB即可;

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠GBA=∠EDA,求出∠DHB=90°即可;

(3)先確定點PCD所在直線距離的最大值和最小值的位置,再根據(jù)圖形求解.

解:(1)①線段DE、BG之間的數(shù)量關(guān)系是:DE=BG,

理由是:如圖1,

四邊形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠BDA=90°,

∴∠BAG=∠BAD=90°,

四邊形AEFG是正方形,

∴AE=AG,

∴△AED≌△AGB(SAS),

∴DE=BG;

直線DE、BG之間的位置關(guān)系是:DE⊥BG,

理由是:如圖2,延長DEBGQ,

△AED≌△AGB得:∠ABG=∠ADE,

∵∠AED+∠ADE=90°,∠AED=∠BEQ,

∴∠BEQ+∠ABG=90°,

∴∠BQE=90°,

∴DE⊥BG;

故答案為:①DE=BG;②DE⊥BG;

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立,理由是:

如圖3,

四邊形AEFG和四邊形ABCD是正方形,

∴AE=AG,AD=AB,∠EAG=∠DAB=90°,

∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB,

△EAD△GAB中,

,

∴△EAD≌△GAB(SAS),

∴ED=GB;

②ED⊥GB,

理由是:∵△EAD≌△GAB,

∴∠GBA=∠EDA,

∵∠AMD+∠ADM=90°,∠BMH=∠AMD,

∴∠BMH+∠GBA=90°,

∴∠DHB=180°﹣90°=90°,

∴ED⊥GB;

(3)將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一周,即點EG在以A為圓心,以2為半徑的圓上,過PPH⊥CDH,

當(dāng)PF重合時,此時PH最小,如圖4,

Rt△AED中,AD=4,AE=2,

∴∠ADE=30°,DE==2,

∴DF=DE﹣EF=2﹣2,

∵AD⊥CD,PH⊥CD,

∴AD∥PH,

∴∠DPH=∠ADE=30°,

∵cos30°==,

∴PH=(2﹣2)=3﹣;

②∵DE⊥BG,∠BAD=90°,

BD的中點O為圓心,以BD為直徑作圓,P、A在圓上,

當(dāng)P的中點時,如圖5,此時PH的值最大,

∵AB=AD=4,

由勾股定理得:BD=4,

則半徑OB=OP=2,

∴PH=2+2

綜上所述,點PCD所在直線距離的最大值是2+2,最小值是3﹣

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