Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，OA=1，OB=3，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4）.

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的表達(dá)式；

（3）過(guò)點(diǎn)D做直線DE//y軸，交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上A、D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不于A、D兩點(diǎn)重合），PA、PB與直線DE分別交于點(diǎn)G、F，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG的值是否變化，如不變，試求出該值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）（-1，0），（3，0）；（2）；（3）8．

【解析】

（1）根據(jù)OA，OB的長(zhǎng)，可得答案；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得EG，EF的長(zhǎng)，根據(jù)整式的加減，可得答案．

解：（1）由拋物線交軸于兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且OA=1，OB=3，得A點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為，

把C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

解得，

拋物線的解析式為；

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：

過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交x軸于Q，如圖:

設(shè)P（t，-t2+2t+3），

則PQ=-t2+2t+3，AQ=1+t，QB=3-t，

∵PQ∥EF，

∴△BEF∽△BQP

∴

∴

又∵PQ∥EG，

∴△AEG∽△AQP，

∴

∴

∴．