Question

【題目】如圖，⊙O中直徑AB⊥弦CD于E，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，CF交AB于I，連接BD、AC、AD．

（1）求證：BI＝BD；

（2）若OI＝1，OE＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑是3+

【解析】

（1）利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)及外角的性質(zhì)可得∠BID＝∠BDI，從而可證BI＝BD；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程得：DE2＝r2﹣22＝（r+1）2﹣（r﹣2）2，解方程可得結(jié)論．

（1）證明：如圖，連接DI，

∵AB為⊙O的直徑，且AB⊥CD，

∴，

∴∠CAB＝∠BAD，∠BAD＝∠BDC，

∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，

∴∠ACF＝∠DCF，

∴I是△ADC的內(nèi)心，

∴∠ADI＝∠CDI，

∵∠BID＝∠BAD+∠ADI，∠BDI＝∠BDC+∠CDI，

∴∠BID＝∠BDI，

∴BI＝BD；

（2）連接OD，

設(shè)⊙O的半徑為r，

∵OI＝1，OE＝2，

∴BE＝r﹣2，BD＝BI＝r+1，

由勾股定理得：DE2＝r2﹣22＝（r+1）2﹣（r﹣2）2，

r2﹣6r﹣1＝0，

r1＝3+，r2＝3-（舍），

答：⊙O的半徑是3+．