【題目】如圖,拋物線與軸相交于,兩點(diǎn),頂點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)在該拋物線上.
(1)若點(diǎn)坐標(biāo)為.
①求與的函數(shù)關(guān)系式;
②已知兩點(diǎn),,當(dāng)拋物線與線段沒(méi)有交點(diǎn)時(shí),求的取值范圍;
(2)若點(diǎn)在該拋物線的曲線段上(不與點(diǎn),重合),直線交軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),連接,.求證:.
【答案】(1)①;②當(dāng)或時(shí),該拋物線與線段沒(méi)有交點(diǎn).(2)詳見(jiàn)解析.
【解析】
(1)①將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可得;
②當(dāng)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)N的左側(cè)或在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí),拋物線與線段MN均無(wú)交點(diǎn).方法一:利用拋物線二次項(xiàng)系數(shù)與開(kāi)口大小的關(guān)系求解;方法二:利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性及對(duì)稱軸的位置列出不等式求解即可;
(2)如圖(見(jiàn)解析),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),根據(jù)拋物線的解析式可求出點(diǎn)D和A的坐標(biāo),從而可知DH和AH的長(zhǎng),再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,求出PD所在直線的解析式,從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo),也就可以得知OC和OB的長(zhǎng),由此可得,根據(jù)相似三角形的判定定理與性質(zhì)可得,最后根據(jù)平行線的判定定理即可.
(1)①∵拋物線經(jīng)過(guò)
故b與a的函數(shù)關(guān)系式為:
② 由(1)得
方法一,有兩種情況:
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)
,解得
越大,拋物線開(kāi)口越小
∴當(dāng)時(shí),拋物線與線段沒(méi)有交點(diǎn)
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)
,解得
越小,拋物線開(kāi)口越大,且
∴當(dāng)時(shí)拋物線與線段沒(méi)有交點(diǎn)
綜上所述,當(dāng)或時(shí),該拋物線與線段沒(méi)有交點(diǎn);
方法二,有兩種情況:
(Ⅰ)當(dāng)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí),拋物線與線段沒(méi)有交點(diǎn)
∵拋物線開(kāi)口向下,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限,對(duì)稱軸為
解得
(Ⅱ)當(dāng)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí),拋物線與線段沒(méi)有交點(diǎn)
解得
綜上所述,當(dāng)或時(shí),該拋物線與線段沒(méi)有交點(diǎn);
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)
∵拋物線的頂點(diǎn)
當(dāng)時(shí),
∴ 點(diǎn),
設(shè)直線為:,,則
將點(diǎn)P和D的坐標(biāo)代入得:,解得:
則直線為:
又
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(10分)如圖,一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出,球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫(huà),斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫(huà).
(1)請(qǐng)用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA,求△POA的面積;
(4)在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M(M與P不重合),△MOA的面積等于△POA的面積.請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),且與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3.
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求△AOB的面積;
(3)寫(xiě)出不等式kx+b>﹣的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)H,點(diǎn)F是上一點(diǎn),連接AF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:△AFC∽△ACE;
(2)若AC=5,DC=6,當(dāng)點(diǎn)F為的中點(diǎn)時(shí),求AF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2﹣4ax﹣(a≠0)交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,這條拋物線的頂點(diǎn)為D.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E.當(dāng)CE=2AB時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)這條拋物線與直線y=﹣x相交,其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1.過(guò)點(diǎn)P(m,0)作x軸的垂線,交這條拋物線于點(diǎn)M,交直線y=﹣x于點(diǎn)N,且點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方.當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度隨m的增大而增大時(shí),求m的取值范圍.
(4)點(diǎn)Q在這條拋物線上運(yùn)動(dòng),若在這條拋物線上只存在兩個(gè)點(diǎn)Q,滿足S△ABQ=3S△ABC,直接寫(xiě)出a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,若AB=4,BC=4,CD=1,問(wèn):在BC上是否存在點(diǎn)P,使得AP⊥PD?若存在,求出BP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四張大小、形狀都相同的卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字1,2,3,4,把它們放入不透明的盒子中搖勻.
(1)從中隨機(jī)抽出1張卡片,抽出的卡片上的數(shù)字恰好是偶數(shù)的概率為 .
(2)從中隨機(jī)抽出1張卡片,記錄數(shù)字后放回?fù)u勻,再抽出一張卡片,記錄數(shù)字.用樹(shù)狀圖或列表法求兩次抽出的卡片上的數(shù)字恰好是兩個(gè)相鄰整數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(3,0),B(3,4).
(1)畫(huà)出△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A'OB',并寫(xiě)出點(diǎn)A',B'的坐標(biāo);
(2)求線段AB在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的區(qū)域面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,P為CD邊上一點(diǎn)(DP<CP),∠APB=90°.將△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延長(zhǎng)線交邊AB于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BN∥MP交DC于點(diǎn)N.
(1)求證:AD2=DPPC;
(2)請(qǐng)判斷四邊形PMBN的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)如圖2,連接AC,分別交PM,PB于點(diǎn)E,F(xiàn).若=,求的值.
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