Question

【題目】已知：直線AD ， BC被直線CD所截，AC為∠BAD的角平分線，∠1+∠BCD=180°

求證：∠BCA=∠BAC ．

Answer 1

【答案】證明：方法1 ∵ AD是一條直線，
∴∠1+∠5=180° （平角的定義）或（鄰補(bǔ)角的定義）
∵ ∠1+∠BCD=180°（已知）
∴ ∠5=∠BCD（同角的補(bǔ)角相等）
∴ AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）

∴ ∠4=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵ AC為∠BAD的角平分線（已知）
∴ ∠2=∠4（角平分線的定義）
∴ ∠2=∠3（等量代換）
即：∠BCA=∠BAC ．
方法2 ∵ AD與CD交于點(diǎn)D ，
∴ ∠1=∠ADC （對(duì)頂角相等）
∵ ∠1+∠BCD=180°（已知）
∴ ∠ADC+∠BCD=180°（等量代換）
∴ AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
∴ ∠4=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵AC為∠BAD的角平分線（已知）
∴ ∠2=∠4（角平分線的定義）
∴ ∠2=∠3（等量代換）
即：∠BCA=∠BAC ．
【解析】方法1由∠5=∠BCD可證AD∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得 ∠4=∠3再利用角平分線的定義得∠2=∠4，由等量代換即可求出結(jié)果；
方法2由∠ADC+∠BCD=180°可證AD∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得 ∠4=∠3再利用角平分線的定義得∠2=∠4，由等量代換即可求出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用角的平分線和平行線的判定與性質(zhì)，掌握從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線；由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)即可以解答此題．