Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與直線AB：y=x+相交于點(diǎn)A（1，0）和B（t，），直線AB交y軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；

（2）點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD、CD，請(qǐng)問△BCD的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出周長(zhǎng)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）設(shè)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線上，以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是否可能為矩形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣，x=﹣1；（2）5+2；（3）能為矩形，M（﹣1，4）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

（2）的周長(zhǎng)，其中為定值，當(dāng)該三角形的周長(zhǎng)最小時(shí)，需要的值最小，即點(diǎn)、、共線時(shí)，它們的值最小，所以利用軸對(duì)稱的性質(zhì)找到點(diǎn)的坐標(biāo)；結(jié)合一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）需要分類討論：①為四邊形的邊長(zhǎng)；②為四邊形的對(duì)角線.

①若為四邊形的邊長(zhǎng)，作，交軸于點(diǎn)，又，構(gòu)造，可得，根據(jù)直線與拋物線的交點(diǎn)的求法得到：直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)為；

②若為四邊形的對(duì)角線，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，對(duì)角線互相平分，據(jù)此求得.

（1）對(duì)于y=-x+，

令y=得x=﹣4，

∴B（﹣4，）．

分別把A（1，0）和B（﹣4，）代入y=x2+bx+c，得 .

解得，

則該拋物線解析式為：y=x2+x﹣，

∵﹣=﹣1，

∴對(duì)稱軸為直線x=﹣1；

（2）直線AB：y=-x+相交于點(diǎn)C（0，），

作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，-），

連接BC′交x軸于點(diǎn)D，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得BD+CD的和最小，

從而△BCD的周長(zhǎng)也最小，

∵B（﹣4，），C′（0，﹣），

∴直線BC′的解析式為y=﹣x﹣．

令y=0，可得x=﹣，

∴D（﹣，0），

∴當(dāng)△BCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，0），

最小周長(zhǎng)=BC+BC′=+=5+2；

（3）①

若AB為四邊形的邊長(zhǎng)，

作AE⊥AB，交y軸于點(diǎn)E，又OA⊥CE，

∴△AOC∽△EOA，

∴OE=2OA=2，

∴E（0，﹣2）.

∴直線AE為y=2x﹣2，

令2x﹣2=x2+x﹣，

解得x1=x2=1，

∴直線AE與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)為A，

∴不存在滿足題意的矩形；

②

若AB為四邊形的對(duì)角線，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，對(duì)角線互相平分，有xA+xB=xM+xN，即：1+（﹣4）=﹣1+xN，

解得xN=﹣2．

把xN=﹣2代入y=x2+x﹣，

得yN=﹣，

由yA+yB=yM+yN得：yM=4，

∴M（﹣1，4），N（﹣2，﹣），

此時(shí)MN==，AB==，

∴MN=AB，

∴平行四邊形AMBN為矩形，

綜上，能為矩形，M（﹣1，4）．