Question

（2013•豐南區(qū)一模）如圖，將邊長(zhǎng)為a的正六邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆在直線(xiàn)l上由圖1的位置按順時(shí)針?lè)较蛳蛴易鳠o(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)A₁第一次滾動(dòng)到圖2位置時(shí)，頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為

4+2 3

3

πa

．

Answer 1

分析：連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，利用正六邊形的性質(zhì)分別計(jì)算出A₁A₄=2a，A₁A₅=A₁A₃=

3

a，而當(dāng)A₁第一次滾動(dòng)到圖2位置時(shí)，頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過(guò)的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，以a，

3

a，2a，

3

a，a為半徑，圓心角都為60°的五條弧，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如圖，

∵六邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆為正六邊形，
∴A₁A₄=2a，∠A₁A₆A₅=120°，
∴∠CA₁A₆=30°，
∴A₆C=

1

2

a，A₁C=

3

2

a，
∴A₁A₅=A₁A₃=

3

a，
當(dāng)A₁第一次滾動(dòng)到圖2位置時(shí)，頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過(guò)的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，
以a，

3

a，2a，

3

a，a為半徑，圓心角都為60°的五條弧，
∴頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)=

4+2 3

3

πa，
故答案為：

4+2 3

3

πa．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)公式：l=

nπr

180

，也考查了正六邊形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難度一般．