【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=-x3x軸交于點(diǎn)C,與直線AD交于點(diǎn)A( ),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1).

1)求直線AD的解析式;

2)直線ADx 軸交于點(diǎn)B,若點(diǎn)E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),當(dāng)BODBCE相似時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】1)求直線AD的解析式y=x+1;(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)(2,2)(3 )

【解析】試題分析

(1) 利用點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo),結(jié)合一次函數(shù)的一般形式,通過待定系數(shù)法獲得關(guān)于待定系數(shù)的方程,求解這些方程進(jìn)而可以寫出直線AD的解析式.

(2) 根據(jù)題意和相似三角形的相關(guān)知識(shí)可知,本小題應(yīng)按∠BOD=BEC=90°和∠BOD=BCE=90°分為兩種情況進(jìn)行討論. 在第一種情況下,可以過點(diǎn)Ex軸的垂線EF,利用相似三角形的關(guān)系,求得線段EC的長(zhǎng),進(jìn)而在RtEFC中利用勾股定理和點(diǎn)E的坐標(biāo)特征獲得相關(guān)的方程,求解這一方程即可獲得點(diǎn)E的坐標(biāo). 在第二種情況下,可以利用EC垂直于x軸的關(guān)系直接得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)值,將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入直線AD的解析式即可得到點(diǎn)E的縱坐標(biāo)值,進(jìn)而寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

試題解析

(1) 設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b (k0).

將點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)分別代入直線AD的解析式,得

,

解之,得

,

∴直線AD的解析式為.

(2) 根據(jù)題意,分別對(duì)下面兩種情況進(jìn)行討論.

①∠BOD=BEC=90°,即△BOD∽△BEC.

如圖①,過點(diǎn)EEFBC,垂足為F.

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m, n).

∵點(diǎn)E在直線AD上,

.

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m, ).

OF=m,EF=.

∵直線y=-x+3x軸交于點(diǎn)C,

又∵當(dāng)y=0時(shí)-x+3=0,x=3,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3, 0),

OC=3.

同理,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2, 0).

OB=2.

BC=OB+OC=2+3=5.

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0, 1)

OD=1.

∴在RtBOD中, .

∵△BOD∽△BEC,

.

.

OF=m,EF=.

FC=OC-OF=3-m.

∵在RtEFC中,EC2=EF2+FC2,

,

m=2.

.

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2, 2).

②∠BOD=BCE=90°,即△BOD∽△BCE.

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m, n).

∵∠BCE=90°,OC=3,

m=3.

∵點(diǎn)E在直線AD上,

∴當(dāng)m=3時(shí), .

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3, ).

綜上所述,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2, 2)(3, ).

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