Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

1

2

x+

5

與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將△ABO繞原點O順時針旋轉得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足為D，直線AB與線段A?B?相交于點G．動點E從原點O出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，設動點E運動的時間為t秒．
（1）求點D的坐標；
（2）連接DE，當DE與線段OB′相交，交點為F，且四邊形DFB′G是平行四邊形時，（如圖2）求此時線段DE所在的直線的解析式；
（3）若以動點為E圓心，以2

5

為半徑作⊙E，連接A′E，t為何值時，Tan∠EA′B′=

1

8

？并判斷此時直線A′O與⊙E的位置關系，請說明理由．

Answer 1

分析：現(xiàn)根據(jù)直線y=

1

2

x+

5

與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求出A、B兩點的坐標，進而再求出OD的長度；然后根據(jù)需要作出恰當?shù)妮o助線，再結合題意對題目進行分析．

解答：解：（1）由題意知A（-2

5

，0）B（0，

5

），
∴OA=2

5

，OB=

5

，
∴AB=

(2 5 )2+( 5 )2

=5，
∵OD⊥AB，
∴

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OD，
∴OD=

2 5 × 5

5

=2．
過點D作DH⊥x軸于點H．（如圖1）
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠ODH=∠BAO，
∴tan∠ODH=tan∠BAO=

1

2

，
∴DH=2OH．
設OH=a，則DH=2a．
∴a²+4a²=4，
∴a=

2 5

5

．
∴OH=

2 5

5

，DH=

4 5

5

．
∴D（-

2 5

5

，

4 5

5

）；

（2）設DE與y軸交于點M．（如圖2）
∵四邊形DFB′G是平行四邊形，
∴DF∥B′G，
∴∠1=∠A′．
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠2．
∵∠BAO=∠A′，
∴∠1=∠2，
∴DM=OM．（1分）
∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴BM=DM，
∴BM=OM，
∴點M是OB中點，
∴M（0，

5

2

）．
設線段DE所在直線解析式為y=kx+b．
把M（0，

5

2

）D（-

2 5

5

，

4 5

5

）代入y=kx+b，
得

5 2 =b 4 5 5 =- 2 5 5 k+b

，解得

k=- 3 4 b= 5 2

．
∴線段DE所在直線的解析式為y=-

3

4

x+

5

2

；

（3）設直線A′B′交x軸于點N，（如圖3）過點A′作A′K⊥x軸于點K．
∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=2

5

，
∴△AOD≌△A′OK，
∴OK=2，
∴A′K=4，
∴A′（-2，4）．
過點B′作B′T⊥y軸于點T，同理△OBD≌△B′OT，
∴B′（2，1）．
設直線A’B’的解析式為y=k₁x+b₁．
則

1=2k1+b1 4=-2k1+b1

，解得

k1=- 3 4 b1= 5 2

．
∴直線A′B′的解析式為y=-

3

4

x+

5

2

．
∴N（

10

3

，0），
∴KN=

16

3

，
∴A’N=

A′K2+KN2

=

20

3

．
當E點在N點左側點E₁位置時，過點E₁作E₁Q₁⊥A’N于點Q₁．
∵tan∠A’NK=

A′K

KN

=

3

4

，
∴設E₁Q₁=3m，則Q₁N=4m．
又∵tan∠E₁A’B’=

1

8

，
∴A’Q₁=24m，
∴28m=

20

3

，
∴m=

5

21

，
∴E₁N=

25

21

，
∴OE₁=ON-E₁N=

15

7

，此時t=

15

7

．
過點E₁作E₁S₁⊥A’O于點S₁．
∵sin∠E₁OS₁=sin∠A′OK，
∴

E1S1

OE1

=

A′K

OA′

，
∴E₁S₁=

4

2 5

×

15

7

=

6 5

7

．
∵⊙E的半徑為2

5

，而

6 5

7

＜2

5

，
∴⊙E₁與直線A’O相交．
當E點在N點右側點E₂位置時，
過點E₂作E₂Q₂⊥A′N于點Q₂．
同理OE₂=5，此時t=5．
過點E₂作E₂S₂⊥A′O于點S₂．
同理E₂S₂=

4

2 5

×5=2

5

．
∵⊙E的半徑為2

5

，
∴⊙E₂與直線A′O相切．
∴當t=

15

7

或t=5時，tan∠EA′B′=

1

8

；
當t=

15

7

時直線A′O與⊙E相交，當t=5時直線A′O與⊙E相切．

點評：解決較復雜的幾何問題，作出合適的輔助線是解決問題的一個關鍵，同時要熟記一些定理或推論．