Question

【題目】如圖①, 已知△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, AE是過A的一條直線, 且B、C在AE的異側(cè), BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.

(1)求證: BD=DE+CE.

(2)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(shí)(BD<CE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系如何? 請(qǐng)給予證明；

(3)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖③位置時(shí)(BD>CE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系如何? 請(qǐng)直接寫出結(jié)果, 不需證明.

(4)根據(jù)以上的討論，請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語言表達(dá)BD與DE,CE的數(shù)量關(guān)系。

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、BD=DE–CE；證明過程見解析；(3)、BD=DE–CE；(4)、當(dāng)B,C在AE的同側(cè)時(shí)，BD=DE–CE；當(dāng)B,C在AE的異側(cè)時(shí)，BD=DE+CE.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)垂直得出∠ADB=∠CEA=90°，結(jié)合∠BAC=90°得出∠ABD=∠CAE，從而證明出△ABD和△ACE全等，根據(jù)全等得出BD=AE,AD=EC，然后得出答案；(2)、根據(jù)第一題同樣的方法得出△ABD和△ACE全等，根據(jù)全等得出BD=AE,AD=EC，然后得出結(jié)論；(3)、根據(jù)同樣的方法得出結(jié)論；(4)、根據(jù)前面的結(jié)論得出答案.

試題解析：(1)∵BD⊥AE，CE⊥AE ∴∠ADB=∠CEA=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° 又∵∠BAC=90°

∴∠EAC+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE

在△ABD與△ACE ∴△ABD≌△ACE ∴BD=AE,AD=EC ∴BD=DE+CE

(2)、∵BD⊥AE，CE⊥AE ∴∠ADB=∠CEA=90° ∴∠ABD+∠BAD=90°

又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE

在△ABD與△ACE ∴△ABD≌△ACE ∴BD=AE,AD=EC ∴BD=DE–CE

(3)、BD=DE–CE

(4)、歸納：由（1）（2）（3）可知：當(dāng)B,C在AE的同側(cè)時(shí)，BD = DE –CE；當(dāng)B,C在AE的異側(cè)時(shí)，∴BD=DE+CE