【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線經(jīng)過A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點D(m,m﹣2)在第三象限的拋物線上,求點D關(guān)于直線AB對稱的點E的坐標(biāo);
(3)若點P是拋物線上的動點,點Q是直線y=﹣x上的動點,判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,求出相應(yīng)點Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2+x﹣4;(2)E點坐標(biāo)為(0,﹣2);(3)綜上所述,Q點的坐標(biāo)為(﹣4,4)或(﹣2+2,2﹣2).
【解析】
試題分析:(1)設(shè)交點式y(tǒng)=a(x+4)(x﹣2),然后把B點坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式;
(2)先判斷△AOB為等腰直角三角形得到∠ABO=45°,再把把D(m,m﹣2)代入y=x2+x﹣4求出m得到D(﹣2,﹣4),則利用D嗲和B點坐標(biāo)可判斷BD∥x軸,BD=2,如圖1,根據(jù)對稱的性質(zhì)BE=BD=2,BF垂直平分DE,再判斷點E在y軸上,于是利用OE=OB﹣BE=2可得到E點坐標(biāo);
(3)如圖2,根據(jù)平行四邊形的判定方法當(dāng)PQ=OB=4,PQ∥OB時,點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,設(shè)Q(t,﹣t),則P(t, t2+t﹣4),分類討論:當(dāng)OQ為邊時,四邊形OQPB為平行四邊形,則﹣t﹣(t, t2+t﹣4)=4,當(dāng)OQ為對角線時,四邊形OBQP為平行四邊形,則t2+t﹣4﹣t=4,然后分別解方程求出t即可得到滿足條件的Q點坐標(biāo).
試題解析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x﹣2),
把B(0,﹣4)代入得a4(﹣2)=﹣4,解得a=,
所以拋物線解析式為y=(x+4)(x﹣2),即y=x2+x﹣4;
(2)∵A(﹣4,0),B(0,﹣4),∴OA=OB,∴△AOB為等腰直角三角形,
∴∠ABO=45°,把D(m,m﹣2)代入y=x2+x﹣4得m2+m﹣4=m﹣2,解得m1=2,m2=﹣2,
∴D(﹣2,﹣4),而B(0,﹣4),∴BD∥x軸,BD=2,
∵點D和點E關(guān)于直線AB對稱(DE交AB于F),如圖1,
∴BE=BD=2,BF垂直平分DE,∴∠DBF=∠EBF=45°,∴∠DBE=90°,
∴點E在y軸上,而OE=OB﹣BE=2,
∴E點坐標(biāo)為(0,﹣2);
(3)判斷有2個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形.如圖2,
當(dāng)PQ=OB=4,PQ∥OB時,點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,
設(shè)Q(t,﹣t),則P(t, t2+t﹣4),
當(dāng)OQ為邊時,四邊形OQPB為平行四邊形,則﹣t﹣(t, t2+t﹣4)=4,解得t1=0(舍去),t2=﹣4,此時Q點坐標(biāo)為(﹣4,4);
當(dāng)OQ為對角線時,四邊形OBQP為平行四邊形,則t2+t﹣4﹣t=4,解得t1=﹣2+2,t2=﹣2﹣2(舍去),此時Q點坐標(biāo)為(﹣2+2,2﹣2),
綜上所述,Q點的坐標(biāo)為(﹣4,4)或(﹣2+2,2﹣2).
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