Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+3x+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，過點(diǎn)P向x軸作垂線交直線BC于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的最大值；

（3）當(dāng)PQ的長(zhǎng)度取最大值時(shí)，PQ與x軸的交點(diǎn)記為D，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，E為頂點(diǎn)的三角形與△BQD相似.如果存在，直接寫出E點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4．（2）存在E（-4.0）或（0，0）或（4+4，0）

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、c的方程組，從而可求得a、c的值；（2）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，由直線可拋物線的解析式可知P（t，-t2+3t+4），Q（t，-t+4），從而可求得QP與t的關(guān)系式，最后依據(jù)配方法可求得m的最大值；

（3）根據(jù)條件，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+3x+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，

∴

解得：a=﹣1，c=4．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．

（2）∵將x=0代入拋物線的解析式得：y=4，

∴C（0，4）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b．

∵將B（4，0），C（0，4）代入得： ，解得：k=﹣1，b=4

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+4．

過點(diǎn)P作x的垂線PQ，如圖所示：

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，

∴ P（t，-t2+3t+4），Q（t，-t+4）．

∴PQ=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t．

∴m=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4（0＜t＜4）．

∴當(dāng)t=2時(shí)，m的最大值為4．

（3）存在E（-4.0）或（0，0）或（4+4，0）