【題目】(本題滿分9分)小明一直對四邊形很感興趣,在矩形ABCD中,E是AC上任意一點,連接DE,作DE⊥EF,交AB于點F.請你跟著他一起解決下列問題:
(1)如圖①,若AB=BC,則DE,EF有什么數(shù)量關系?請給出證明.
(2)如圖②,若∠CAB=30°,則DE,EF又有什么數(shù)量關系?請給出證明.
(3)由(1)、(2)這兩種特殊情況,小明提出問題:如果在矩形ABCD中,BC=mAB,那DE,EF有什么數(shù)量關系?請給出證明.
【答案】(1)DE=EF.(2)DE=EF.(3)DE=EF.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠EAH=45°,得到HE=HA,根據(jù)正方形的判定定理證明四邊形AHEG是正方形,證明△EDG≌△EFH,得到答案;(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理解答;(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理列出比例式解答.
試題解析:(1)DE=EF.
過點E作EG⊥AD與G,EH⊥AB于H,
則∠EGD=∠EHF=90°,又∠BAD=90°,
∴四邊形EGAH是矩形,
∵四邊形ABCD是矩形,AB=AD,
∴矩形ABCD為正方形,
∴∠EAH=45°,
∴HE=HA,
∴四邊形AHEG是正方形,
∴EH=EG,∠GEH=90°,
∴∠FED﹣∠GEF=∠GEH﹣∠GEF,
即∠DEG=∠FEH,
在△EDG和△EFH中,
∴△EDG≌△EFH
∴DE=EF;
(2)DE=EF.
∵∠CAB=30°,
∴,
同(1)得,∠EGD=∠EHF=90°,∠DEG=∠FEH
∴△EDG∽△EFH,
∴,
∴DE=EF;
(3)DE=EF.
同(2)得,△EDG∽△EFH,
∴,
∴DE=EF.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+3x+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P在第一象限的拋物線上,且點P的橫坐標為t,過點P向x軸作垂線交直線BC于點Q,設線段PQ的長為m,求m與t之間的函數(shù)關系式,并求出m的最大值;
(3)當PQ的長度取最大值時,PQ與x軸的交點記為D,在x軸上是否存在點E,使以點B,C,E為頂點的三角形與△BQD相似.如果存在,直接寫出E點坐標,如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校在去年購買A,B兩種足球,費用分別為2400元和2000元, 其中A種足球數(shù)量是B種足球數(shù)量的2倍,B種足球單價比A種足球單價多80元/個.
(1)求A,B兩種足球的單價;
(2)由于該校今年被定為“足球特色校”,學校決定再次購買A,B兩種足球共18個,且本次購買B種足球的數(shù)量不少于A種足球數(shù)量的2倍,若單價不變,則本次如何購買才能使費用W最少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,F是AD的中點,延長BC到點E,使CE=BC,連接DE,CF.
(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.解答下列問題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°, ①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖乙,線段CF、BD之間的位置關系為 , 數(shù)量關系為 .
②當點D在線段BC的延長線上時,如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°點D在線段BC上運動.試探究:當△ABC滿足一個什么條件時,CF⊥BC(點C、F重合除外)?并說明理由.
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