Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn)（不點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長．

②連接PB，PC，求△PBC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）設(shè)拋物線的對稱軸與BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)M是拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①﹣m2+3m，②(，﹣)；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，3)，( 2，1﹣2)或(2，1+2)

【解析】

（1）根據(jù)已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0）代入即可求解；

（2）①先確定直線BC解析式，根據(jù)過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，即可用含m的帶上書表示出P和D的坐標(biāo)進(jìn)而求解；

②用含m的代數(shù)式表示出△PBC的面積，可得S是關(guān)于m的二次函數(shù)，即可求解；

（3）根據(jù)（1）中所得二次函數(shù)圖象和對稱軸先得點(diǎn)E的坐標(biāo)即可寫出點(diǎn)三個位置的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，

∴，

解得：；

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣4x+3；

（2）如圖：

①設(shè)P（m，m2﹣4m+3），

將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入得直線BC解析式為yBC＝﹣x+3．

∵過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，

∴D（m，﹣m+3），

∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．

答：用含m的代數(shù)式表示線段PD的長為﹣m2+3m．

②S△PBC＝S△CPD+S△BPD

＝OBPD＝﹣m2+m

＝﹣（m﹣）2+．

∴當(dāng)m＝時(shí)，S有最大值．

當(dāng)m＝時(shí)，m2﹣4m+3＝﹣．

∴P（，﹣）．

答：△PBC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．

（3）存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

根據(jù)題意，點(diǎn)E（2，1），

∴EF＝CF＝2，

∴EC＝，

根據(jù)菱形的四條邊相等，

∴ME＝EC＝，

∴M（2，1﹣）或（2，1+）

當(dāng)EM＝EF＝2時(shí)，M（2，3）

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．